《2026年练就优等生课后提分攻略九年级数学全一册人教版》

01 如图 2 - 36 - 1，直线 $ y = - x + 3 $ 与 $ x $ 轴、$ y $ 轴分别交于 $ B $，$ C $ 两点，抛物线 $ y = - x ^ { 2 } + b x + c $ 经过 $ B $，$ C $ 两点，与 $ x $ 轴另一交点为 $ A $，顶点为 $ D $。
(1) 求抛物线的解析式。
(2) 在抛物线的对称轴上是否存在一点 $ P $，使得 $ \angle APB = \angle OCB $？若存在，求出 $ P B ^ { 2 } $ 的值；若不存在，请说明理由。

答案：
01 解：
(1)抛物线的解析式为$y = -x^{2} + 2x + 3$。
(2)存在。①当点$P$在$x$轴上方时，如图。
$\because OB = OC = 3$，$\therefore \angle OCB =$
$45^{\circ} = \angle APB$。
过点$B$作$BH \perp AP$，垂足
为$H$。
设$PH = BH = a$，
则$PB = PA = \sqrt{2}a$。
令$y = 0$，则$-x^{2} + 2x +$

$3 = 0$，
解得$x = 3$或$x = -1$。
$\therefore$点$A$的坐标为$(-1,0)$，点$B$坐标为$(3,0)$。
$\therefore AB = 4$。
由勾股定理，得$AB^{2} = AH^{2} + BH^{2}$，
$\therefore 16 = (\sqrt{2}a - a)^{2} + a^{2}$，解得$a^{2} = 8 + 4\sqrt{2}$。
则$PB^{2} = 2a^{2} = 16 + 8\sqrt{2}$。
②当点$P$在$x$轴下方时，
同理可得$PB^{2} = 16 + 8\sqrt{2}$。
综上所述，$PB^{2}$的值为$16 + 8\sqrt{2}$。

02 如图 2 - 36 - 2，已知二次函数 $ y = a x ^ { 2 } + b x + 4 ( a \neq 0 ) $ 的图象与 $ x $ 轴交于 $ A ( - 2, 0 ) $，$ B ( 8, 0 ) $ 两点，与 $ y $ 轴交于点 $ C $，连接 $ B C $。点 $ P $ 为抛物线上的一个动点（与点 $ A $，$ B $，$ C $ 不重合）。
(1) 求二次函数的解析式；
(2) 当 $ \angle P C B = \angle A B C $ 时，求点 $ P $ 的坐标。

答案：
02 解：
(1)二次函数的解析式为$y = -\frac{1}{4}x^{2} + \frac{3}{2}x + 4$。
(2)①当点$P$在$BC$上方时，如图①。
$\because \angle PCB = \angle ABC$，

$\therefore PC // AB$。
$\therefore$点$C$，$P$的纵坐标相等。
$\therefore$点$P$的纵坐标为$4$。
令$y = 4$，则$-\frac{1}{4}x^{2} + \frac{3}{2}x +$
$4 = 4$，
解得$x = 0$或$x = 6$。
$\therefore P(6,4)$。
②当点$P$在$BC$下方时，如图②，
设$PC$交$x$轴于点$H$。
$\because \angle PCB = \angle ABC$，
$\therefore HC = HB$。
设$HB = HC = h$，则
$OH = OB - HB = 8 - h$。
在$Rt\triangle COH$中，
$\because OC^{2} + OH^{2} = CH^{2}$，
$\therefore 4^{2} + (8 - h)^{2} = h^{2}$，
解得$h = 5$。
$\therefore OH = 3$。
$\therefore H(3,0)$。
设直线$PC$的解析式为$y = kx + n$，
$\therefore \begin{cases}n = 4,\\3k + n = 0,\end{cases}$
解得$\begin{cases}k = -\frac{4}{3},\\n = 4.\end{cases}$
$\therefore$直线$PC$的解析式为$y = -\frac{4}{3}x + 4$。
联立，得$\begin{cases}y = -\frac{4}{3}x + 4,\\y = -\frac{1}{4}x^{2} + \frac{3}{2}x + 4,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x_1 = 0,\\y_1 = 4,\end{cases}\begin{cases}x_2 = \frac{34}{3},\\y_2 = -\frac{100}{9}.\end{cases}$
$\therefore P(\frac{34}{3}, -\frac{100}{9})$。
综上所述，点$P$的坐标为$(6,4)$或$(\frac{34}{3}, -\frac{100}{9})$。