《2026年练就优等生课后提分攻略九年级数学全一册人教版》

03 如图 5 - 82 - 3，在 $Rt\triangle ABC$ 中，$AC = BC$，$\angle ACB = 90^{\circ}$，点 $O$ 在线段 $AB$ 上（点 $O$ 不与点 $A$，$B$ 重合），且 $OB = kOA(k ＞ 0)$，点 $M$ 是 $AC$ 延长线上一点，作射线 $OM$，将射线 $OM$ 绕点 $O$ 逆时针旋转 $90^{\circ}$，交射线 $CB$ 于点 $N$。
（1）如图①，当 $k = 1$ 时，判断线段 $OM$ 与 $ON$ 的数量关系，并说明理由；
（2）如图②，当 $k ＞ 1$ 时，判断线段 $OM$ 与 $ON$ 的数量关系（用含 $k$ 的式子表示），并证明；
（3）若 $\angle BON = 15^{\circ}$，点 $P$ 在射线 $BC$ 上，$PN = kAM(k \neq 1)$，且 $\frac{CM}{AC} ＜ \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$，请直接写出 $\frac{NC}{PC}$ 的值（用含 $k$ 的式子表示）。

答案：
03 解：
(1)OM=ON.理由：如图①，过点O作OD⊥AC，OE⊥CB，垂足分别为D，E，
!
∴∠ADO=∠MDO=∠CEO=∠NEO=90°.
∵AC=BC，
∴∠A=∠ABC=45°.
∴在Rt△AOD中，OD=AD，
∴$OD=\frac{\sqrt{2}}{2}OA$.
同理$OE=\frac{\sqrt{2}}{2}OB$.
∵OA=OB，
∴OD=OE.
∵∠DOE=90°，
∴∠DOM+∠MOE=90°.
∵∠MON=90°，
∴∠EON+∠MOE=90°.
∴∠DOM=∠EON.
在△DOM和△EON中，
$\begin{cases} ∠MDO=∠NEO,\\ OD=OE,\\ ∠DOM=∠EON,\end{cases}$
∴△DOM≌△EON(ASA).
∴OM=ON.
(2)ON=kOM.证明：如图②，过点O作OD⊥AC，OE⊥BC，垂足分别为D，E.

由
(1)知，$OD=\frac{\sqrt{2}}{2}OA$，$OE=\frac{\sqrt{2}}{2}OB$，
∴$\frac{OD}{OE}=\frac{OA}{OB}=\frac{1}{k}$.
同
(1)可得∠DOM=∠EON.
又
∵∠MDO=∠NEO=90°，
∴△DOM∽△EON.
∴$\frac{OM}{ON}=\frac{OD}{OE}=\frac{1}{k}$.
∴ON=kOM.
(3)$\frac{NC}{PC}=\frac{1+\sqrt{3}k}{k-1}$.