《2026年练就优等生课后提分攻略九年级数学全一册人教版》

01 如图 4 - 73 - 1, 在平面直角坐标系中, 一次函数 $ y_1 = kx + b $ 的图象与反比例函数 $ y_2 = \frac{m}{x} $ 的图象交于 $ A(8,1),B(-2,n) $ 两点, 与 $ y $ 轴交于点 $ C $.
(1) 求一次函数与反比例函数的解析式;
(2) 连接 $ OA,OB $, 求 $ \triangle AOB $ 的面积;
(3) 若点 $ D $ 在 $ y $ 轴上, 且 $ S_{\triangle ABD} = 25 $, 求点 $ D $ 的坐标.

答案：
01 解：
(1)一次函数的解析式为 $y_1 = \frac{1}{2}x - 3$。
反比例函数的解析式为 $y_2 = \frac{8}{x}$。
(2)把 $x = 0$ 代入 $y_1 = \frac{1}{2}x - 3$，得 $y = -3$，$\therefore OC = 3$。
$\therefore S_{\triangle AOB} = S_{\triangle BOC} + S_{\triangle AOC} = \frac{1}{2} × 3 × 2 + \frac{1}{2} × 3 × 8 = 15$。
(3)如图，设点 $D(0, d)$。
$\because$ 点 $C(0, -3)$，
$\therefore CD = |d + 3|$。
$\therefore S_{\triangle ABD} = S_{\triangle BDC} + S_{\triangle ADC} = 25$。
$\therefore \frac{1}{2}CD × 2 + \frac{1}{2}CD × 8 = 25$。
$\therefore CD = 5$。$\therefore |d + 3| = 5$。
$\therefore d = 2$ 或 $d = -8$。
$\therefore$ 点 $D$ 的坐标为 $(0, 2)$ 或 $(0, -8)$。

02 如图 4 - 73 - 2, 在平面直角坐标系中, 一次函数 $ y_1 = kx + b $ 的图象经过点 $ A(0,-4),B(2,0) $, 且交反比例函数 $ y_2 = \frac{m}{x}(x ＞ 0) $ 的图象于点 $ C(3,a) $, 点 $ P $ 在反比例函数的图象上, 横坐标为 $ n(0 ＜ n ＜ 3) $, $ PQ // y $ 轴交直线 $ AB $ 于点 $ Q $, 连接 $ OP,OQ $.
(1) 求一次函数和反比例函数的解析式;
(2) 求 $ \triangle OPQ $ 面积的最大值.

答案： 02 解：
(1)一次函数的解析式为 $y_1 = 2x - 4$。
反比例函数的解析式为 $y_2 = \frac{6}{x}$。
(2)$\because$ 点 $P$ 在反比例函数的图象上，点 $Q$ 在一次函数的图象上，点 $P(n, \frac{6}{n})$，点 $Q(n, 2n - 4)$，且 $0 ＜ n ＜ 3$，
$\therefore PQ = \frac{6}{n} - (2n - 4)$。
$\therefore S_{\triangle OPQ} = \frac{1}{2}n × [\frac{6}{n} - (2n - 4)] = -n^2 + 2n + 3 = -(n - 1)^2 + 4$。
$\because -1 ＜ 0$，且 $0 ＜ n ＜ 3$，
$\therefore$ 当 $n = 1$ 时，$S_{\triangle OPQ}$ 有最大值，最大值为 $4$。
$\therefore \triangle OPQ$ 面积的最大值是 $4$。