《2026年练就优等生课后提分攻略九年级数学全一册人教版》

01
小刚在解关于x的方程$ax^{2}+bx+c=0(a≠0)$时，只抄对了$a=1$，$b=4$，解出其中一个根是$x=-1$。他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2，则原方程的根的情况是（A）

A.不存在实数根
B.有两个不相等的实数根
C.有一个根是$x=-1$
D.有两个相等的实数根

答案： A

02
对于关于x的一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0(a≠0)$，有下列说法：
①若c是关于x的方程$ax^{2}+bx+c=0$的一个根，则一定有$ac+b+1=0$成立；
②若关于x的方程$ax^{2}+c=0$有两个不相等的实数根，则关于x的方程$ax^{2}+bx+c=0$必有两个不相等的实数根；
③若$a - b + c = 0$，则关于x的方程$ax^{2}+bx+c=0$有一根为$-1$；
④若$b = 2a + 3c$，则关于x的一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0$有两个不相等的实数根。
其中正确的是②③④。（填序号）

答案： ②③④

03
已知关于x的一元二次方程$ax^{2}+bx+1=0$。
(1)当$b = a + 2$时，判断方程根的情况；
(2)若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根；
(3)若$a = b$，该一元二次方程没有实数根，求a的取值范围。

答案： 解：
(1)方程有两个不相等的实数根.
(2)
∵方程有两个相等的实数根，
∴$\Delta = b^2 - 4a = 0$，即$b^2 = 4a$.
若$b = 2$，$a = 1$，则方程为$x^2 + 2x + 1 = 0$，
解得$x_1 = x_2 = -1$.（答案不唯一）
(3)当$a = b$时，方程为$ax^2 + ax + 1 = 0$.
∵该一元二次方程没有实数根，
∴$\Delta ＜ 0$，即$a^2 - 4a ＜ 0$，
∴$a(a - 4) ＜ 0$.
①当$a ＞ 0$且$a - 4 ＜ 0$时，解得$0 ＜ a ＜ 4$；
②当$a ＜ 0$且$a - 4 ＞ 0$时，不存在符合要求的$a$.
与解题指导
综上所述，$a$的取值范围是$0 ＜ a ＜ 4$.