《2026年练就优等生课后提分攻略九年级数学全一册人教版》

01 如图 4 - 74 - 1，在平面直角坐标系 $ xOy $ 中，已知点 $ A(2,3) $，在坐标轴上找一点 $ P $，使得 $ \triangle AOP $ 是等腰三角形，则这样的点 $ P $ 共有8个。

答案： 8

02 如图 4 - 74 - 2，直线 $ AB:y_1 = kx + b(k \neq 0) $ 交坐标轴于点 $ C $，$ D $，且与反比例函数 $ y_2 = \frac{n}{x}(x ＞ 0) $ 的图象相交于点 $ A(m,3) $，$ B(m + 4,1) $。
(1) 求反比例函数和一次函数的解析式；
(2) 连接 $ OA $，在 $ x $ 轴上找一点 $ M $，使 $ \triangle AOM $ 是以 $ OA $ 为腰的等腰三角形，求出点 $ M $ 的坐标。

答案：
解：
(1)反比例函数的解析式为$y_{2}=\frac{6}{x}$，一次函数的解析式为$y_{1}=-\frac{1}{2}x + 4$。
(2)$\because$点A的坐标为$(2,3)$，$\therefore OA = \sqrt{2^{2} + 3^{2}} = \sqrt{13}$。
分两种情况：
①当$OM = OA = \sqrt{13}$时，点M的坐标为$(\sqrt{13},0)$或$( - \sqrt{13},0)$。
②如图，当$AM = OA$时，过点A作$AP\bot x$轴于点P，
则$MP = OP = 2$，
$\therefore OM = 4$。
$\therefore$点M的坐标为$(4,0)$。

综上所述，当$\triangle AOM$是以$OA$为腰的等腰三角形时，点M的坐标为$(\sqrt{13},0)$或$( - \sqrt{13},0)$或$(4,0)$。