《2026年练就优等生课后提分攻略九年级数学全一册人教版》

01 如图 1 - 9 - 1，在△ABC 中，∠B = 90°，AB = 5 cm，BC = 7 cm，点 P 从点 A 开始沿 AB 边向点 B 以 1 cm/s 的速度移动，同时点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 2 cm/s 的速度移动，点 Q 到达点 C 后，点 P 停止运动。设点 P 运动的时间为 t s。
(1)用含 t 的式子表示下列线段的长度：AP = t cm，BP = 5-t cm，BQ = 2t cm，CQ = 7-2t cm。
(2)当 t = 1 时，△PBQ 的面积等于 4 cm²。
(3)是否存在 t 使△PBQ 的面积等于 8 cm²？给出你的判断并说明理由。

答案：
(1)t $(5 - t)$ $2t$ $(7 - 2t)$
(2)1
(3)不存在. 理由如下：
假设$\triangle PBQ$的面积能等于$8 cm^2$.
根据题意，得$\frac{1}{2}BP · BQ = 8$，
即$\frac{1}{2}(5 - t) × 2t = 8$，整理，得$t^2 - 5t + 8 = 0$.
$\because \Delta = (-5)^2 - 4 × 1 × 8 = -7 ＜ 0$，$\therefore$该方程没有实数根.
$\therefore$假设不成立，即$\triangle PBQ$的面积不能等于$8 cm^2$.

02 如图 1 - 9 - 2①，在矩形 ABCD 中，AB = 8，AD = 4，点 P 从点 A 出发，沿 A→D→C→D 运动，沿 A→D→C 运动时的速度为每秒 2 个单位长度，沿 C→D 运动时的速度为每秒 4 个单位长度。点 Q 从点 A 出发沿 AB 方向运动，速度为每秒 1 个单位长度。P，Q 两点同时出发，当点 Q 到达点 B 时，P，Q 两点同时停止运动，设点 Q 的运动时间为 t s，连接 PQ。
(1)当点 P 沿 D→C→D 运动时，用含 t 的式子表示 PD 的长，PD = $\begin{cases}2t - 4(2 \leq t \leq 6), \\32 - 4t(6 ＜ t \leq 8)\end{cases}$；
(2)若 0 ≤ t ≤ 6，连接 CP，CQ，如图 1 - 9 - 2②，当△CPQ 的面积为 9 时，求 t 的值。

答案：
(1)$\begin{cases}2t - 4(2 \leq t \leq 6), \\32 - 4t(6 ＜ t \leq 8)\end{cases}$
(2)当$0 \leq t \leq 2$时，$AP = 2t$，$PD = 4 - 2t$，$AQ = t$，$BQ = 8 - t$，
$\therefore S_{\triangle CPQ} = 4 × 8 - \frac{1}{2}t × 2t - \frac{1}{2}(8 - t) × 4 - \frac{1}{2}(4 - 2t) × 8 = -t^2 + 10t = 9$，解得$t_1 = 1$，$t_2 = 9$(舍去).
当$2 ＜ t \leq 6$时，$PC = 12 - 2t$，
$\therefore S_{\triangle CPQ} = \frac{1}{2}(12 - 2t) × 4 = 24 - 4t = 9$，解得$t = \frac{15}{4}$.
综上所述，当$\triangle CPQ$的面积为$9$时，$t = 1$或$t = \frac{15}{4}$.