《2026年练就优等生课后提分攻略九年级数学全一册人教版》

01 如图 2 - 35 - 1,抛物线 $ y = x^{2} - 2x - 3 $ 与 $ x $ 轴交于点 $ A $, $ D $, 与 $ y $ 轴交于点 $ C $, 当四边形 $ ABCD $ 是平行四边形时, 求点 $ B $ 的坐标.

答案： 01 点 B 的坐标为$(- 4, - 3)$。

02 如图 2 - 35 - 2, 把 $ Rt\triangle ABC $ 放在平面直角坐标系中, 其中 $ \angle CAB = 90^{\circ} $, $ BC = 10 $, 点 $ A $, $ B $ 的坐标分别为 $ (2,0) $, $ (8,0) $, 若以点 $ A $, $ B $, $ C $, $ D $ 为顶点的四边形是平行四边形, 请直接写出顶点 $ D $ 的坐标:$(8, - 8)$或$(- 4,8)$或$(8,8)$.

答案： 02 $(8, - 8)$或$(- 4,8)$或$(8,8)$

03 如图 2 - 35 - 3, 已知二次函数 $ y = - x^{2} + bx + c $ 的图象交 $ x $ 轴于点 $ A(-1,0) $, $ B(5,0) $, 交 $ y $ 轴于点 $ C $.
(1) 求这个二次函数的解析式.
(2) 已知 $ P $ 是抛物线上一点, 在直线 $ BC $ 上是否存在点 $ Q $, 使以 $ A $, $ C $, $ P $, $ Q $ 为顶点的四边形是平行四边形? 若存在, 直接写出点 $ Q $ 的坐标; 若不存在, 请说明理由.

答案： 03 解：$(1)$二次函数的解析式为$y = -x^{2} + 4x + 5$。 $(2)$存在点$Q$，使以$A,C,P,Q$为顶点的四边形是平行四边形。 由$B(5,0)$，$C(0,5)$得直线$BC$的解析式为$y = -x + 5$。 设$Q(m, -m + 5)$，$P(n, -n^{2} + 4n + 5)$。 ①当$AC$为对角线时，则$PQ$，$AC$的中点重合， $\begin{cases}m + n = -1 + 0 \\ -m + 5 - n^{2} + 4n + 5 = 0 + 5 \end{cases}$ 解得$m = 0$（与点$C$重合，舍去）或$m = -7$。 $\therefore Q(-7,12)$。 ②当$AQ$为对角线时，则$AQ$，$PC$的中点重合， $\begin{cases}m - 1 = n + 0 \\ -m + 5 + 0 = -n^{2} + 4n + 5 + 5 \end{cases}$ 解得$m = 0$（舍去）或$m = 7$。 $\therefore Q(7, -2)$。 ③当$AP$为对角线时，则$QC$，$AP$的中点重合， $\begin{cases}m + 0 = n - 1 \\ -m + 5 + 5 = -n^{2} + 4n + 5 + 0 \end{cases}$ 解得$m = 1$或$m = 2$。 $\therefore Q(1,4)$或$Q(2,3)$。 综上所述，存在符合条件的点$Q$，点$Q$的坐标为$(-7,12)$或$(7, -2)$或$(1,4)$或$(2,3)$。