《2026年练就优等生课后提分攻略九年级数学全一册人教版》

01 如图 2 - 34 - 1，抛物线 $ y = mx^{2} - 2mx - 3m(m ＞ 0) $ 与 $ x $ 轴交于 $ A $，$ B $ 两点，与 $ y $ 轴交于 $ C $ 点。
(1) 抛物线顶点 $ M $ 的坐标是$(1, -4m)$（用含 $ m $ 的代数式表示），点 $ A $，$ B $ 的坐标分别是 $ A $（-1, 0），$ B $（3, 0）。
(2) 是否存在使 $ \triangle BCM $ 为直角三角形的抛物线？若存在，求出抛物线的解析式；若不存在，请说明理由。

答案：
01 解：
(1)$(1, -4m)\ -1, 0\ 3, 0$
(2)存在使$\triangle BCM$为直角三角形的抛物线.
如图，过点$C$作抛物线对称轴的垂线，垂足为$N$，
则$\triangle CMN$为直角三角形，$CN = OD = 1$，$DN = OC = 3m$，
$\therefore MN = DM - DN = m$.
$\therefore CM^{2} = CN^{2} + MN^{2} = 1 + m^{2}$.
在$Rt\triangle OBC$中，$BC^{2} = OB^{2} + OC^{2} = 9 + 9m^{2}$.
在$Rt\triangle BDM$中，$BM^{2} = BD^{2} + DM^{2} = 4 + 16m^{2}$.
①如果$\triangle BCM$是直角三角形，且$\angle BMC = 90^{\circ}$，
那么$CM^{2} + BM^{2} = BC^{2}$，
即$1 + m^{2} + 4 + 16m^{2} = 9 + 9m^{2}$，解得$m = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$.
$\because m ＞ 0$，$\therefore m = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
$\therefore$存在抛物线$y = \frac{\sqrt{2}}{2}x^{2} - \sqrt{2}x - \frac{3\sqrt{2}}{2}$使得$\triangle BCM$是直角三角形.
②如果$\triangle BCM$是直角三角形，且$\angle BCM = 90^{\circ}$，
那么$BC^{2} + CM^{2} = BM^{2}$，
即$9 + 9m^{2} + 1 + m^{2} = 4 + 16m^{2}$，解得$m = \pm1$.
$\because m ＞ 0$，$\therefore m = 1$.
$\therefore$存在抛物线$y = x^{2} - 2x - 3$使得$\triangle BCM$是直角三角形.
③如果$\triangle BCM$是直角三角形，且$\angle CBM = 90^{\circ}$，
那么$BC^{2} + BM^{2} = CM^{2}$，
即$9 + 9m^{2} + 4 + 16m^{2} = 1 + m^{2}$，整理得$m^{2} = -\frac{1}{2}$，此方程无解.
$\therefore$以$\angle CBM$为直角的直角三角形不存在.
综上所述，存在抛物线$y = \frac{\sqrt{2}}{2}x^{2} - \sqrt{2}x - \frac{3\sqrt{2}}{2}$和$y = x^{2} - 2x - 3$使得$\triangle BCM$是直角三角形.

02 如图 2 - 34 - 2，已知抛物线 $ y = ax^{2} + bx + c(a \neq 0) $ 的顶点 $ M $ 在第一象限，抛物线与 $ x $ 轴相交于 $ A $，$ B $ 两点（点 $ A $ 在点 $ B $ 的左边），与 $ y $ 轴交于点 $ C $，$ O $ 为坐标原点，$ \triangle ABM $ 是直角三角形，连接 $ OM $，$ AB = 2 $，$ OM = \sqrt{5} $。
(1) 求点 $ M $ 的坐标。
(2) 求抛物线 $ y = ax^{2} + bx + c $ 的函数解析式。
(3) 在抛物线的对称轴上是否存在点 $ P $，使得 $ \triangle PAC $ 为直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点 $ P $ 的坐标；若不存在，请说明理由。

答案： 02 解：
(1)点$M$的坐标为$(2, 1)$.
(2)抛物线的函数解析式为$y = -x^{2} + 4x - 3$.
(3)由
(2)可知$y = -x^{2} + 4x - 3$，
$\therefore$点$C$的坐标为$(0, -3)$.
设点$P$的坐标为$(2, y)$，
则$AC^{2} = 10$，$AP^{2} = 1 + y^{2}$，$CP^{2} = 4 + (y + 3)^{2}$.
①当$\angle PAC = 90^{\circ}$时，$AC^{2} + AP^{2} = CP^{2}$，即$10 + 1 + y^{2} = 4 + (y + 3)^{2}$，解得$y = -\frac{1}{3}$.
即此时点$P$的坐标为$(2, -\frac{1}{3})$.
②当$\angle PCA = 90^{\circ}$时，$AC^{2} + CP^{2} = AP^{2}$，即$10 + 4 + (y + 3)^{2} = 1 + y^{2}$，解得$y = -\frac{11}{3}$.
即此时点$P$的坐标为$(2, -\frac{11}{3})$.
③当$\angle APC = 90^{\circ}$时，$AP^{2} + CP^{2} = AC^{2}$，即$1 + y^{2} + 4 + (y + 3)^{2} = 10$，解得$y = -1$或$-2$.
即此时点$P$的坐标为$(2, -1)$或$(2, -2)$.
综上所述，存在符合要求的点$P$，点$P$的坐标为$(2, -\frac{1}{3})$或$(2, -\frac{11}{3})$或$(2, -1)$或$(2, -2)$.