《2025年新课标学习方法指导丛书八年级数学上册浙教版》

12. 三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时,我们称此三角形为“特征三角形”,其中α称为“特征角”。如果一个“特征三角形”的“特征角”为110°,那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为15°。

答案： 15°

13. 用几何画板工具可以很方便地画出正五角星(如图1所示)。

(1)图1中,∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E= ______180°。
(2)拖动点A分别到图2和图3的位置时,∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E的值是否发生变化？说明你的理由。
不发生变化
理由：
图 2 中，设 AE 与 CD 交于点 F。
在$\triangle ADF$中，$\angle AFD+\angle D+\angle FAD = 180^{\circ}$。
因为$\angle AFD=\angle C+\angle E$，$\angle FAD=\angle B+\angle CAD$。
所以$\angle CAD+\angle B+\angle C+\angle D+\angle E=\angle FAD + \angle C+\angle E+\angle D=180^{\circ}$。
图 3 中，设 BC 与 AD 交于点 G。
在$\triangle ABG$中，$\angle AGB+\angle B+\angle GAB = 180^{\circ}$。
因为$\angle AGB=\angle C+\angle D$，$\angle GAB=\angle E+\angle CAD$。
所以$\angle CAD+\angle B+\angle C+\angle D+\angle E=\angle GAB+\angle C+\angle D = 180^{\circ}$。
综上，拖动点 A 分别到图 2 和图 3 的位置时，$\angle CAD+\angle B+\angle C+\angle D+\angle E$的值不发生变化。

答案： （1）180$^{\circ}$
（2）不发生变化
理由：
图 2 中，设 AE 与 CD 交于点 F。
在$\triangle ADF$中，$\angle AFD+\angle D+\angle FAD = 180^{\circ}$。
因为$\angle AFD=\angle C+\angle E$，$\angle FAD=\angle B+\angle CAD$。
所以$\angle CAD+\angle B+\angle C+\angle D+\angle E=\angle FAD + \angle C+\angle E+\angle D=180^{\circ}$。
图 3 中，设 BC 与 AD 交于点 G。
在$\triangle ABG$中，$\angle AGB+\angle B+\angle GAB = 180^{\circ}$。
因为$\angle AGB=\angle C+\angle D$，$\angle GAB=\angle E+\angle CAD$。
所以$\angle CAD+\angle B+\angle C+\angle D+\angle E=\angle GAB+\angle C+\angle D = 180^{\circ}$。
综上，拖动点 A 分别到图 2 和图 3 的位置时，$\angle CAD+\angle B+\angle C+\angle D+\angle E$的值不发生变化。

14. (1)如图1所示,把△ABC纸片沿DE折叠,使点A落在四边形BCED的内部点A'的位置,试说明2∠A= ∠1+∠2。
设∠ADE=∠A'DE=x，∠AED=∠A'ED=y。在△ADE中，∠A + x + y = 180°，则x + y = 180° - ∠A。∵∠1 + 2x = 180°，∠2 + 2y = 180°，∴∠1 = 180° - 2x，∠2 = 180° - 2y。∴∠1 + ∠2 = (180° - 2x) + (180° - 2y) = 360° - 2(x + y) = 360° - 2(180° - ∠A) = 2∠A。
(2)如图2所示,若把△ABC纸片沿DE折叠,使点A落在四边形BCED的外部点A'的位置,此时∠A与∠1,∠2之间的等量关系是______(无需说明理由)。
2∠A=∠1-∠2
(3)如图3所示,若把四边形ABCD沿EF折叠,使点A,D落在四边形BCFE的内部点A',D'的位置,请你探索此时∠A,∠D,∠1与∠2之间的数量关系,写出你的结论并说明理由。
设∠AEF=∠A'EF=α，∠DFE=∠D'FE=β。在四边形AEFD中，∠A + ∠D + α + β = 360°，则α + β = 360° - ∠A - ∠D。∵∠1 + 2α = 180°，∠2 + 2β = 180°，∴∠1 = 180° - 2α，∠2 = 180° - 2β。∴∠1 + ∠2 = 360° - 2(α + β) = 360° - 2(360° - ∠A - ∠D) = 2(∠A + ∠D) - 360°。结论：∠1 + ∠2=2(∠A + ∠D)-360°

答案：
(1) 设∠ADE=∠A'DE=x，∠AED=∠A'ED=y。
在△ADE中，∠A + x + y = 180°，则x + y = 180° - ∠A。
∵∠1 + 2x = 180°，∠2 + 2y = 180°，
∴∠1 = 180° - 2x，∠2 = 180° - 2y。
∴∠1 + ∠2 = (180° - 2x) + (180° - 2y) = 360° - 2(x + y) = 360° - 2(180° - ∠A) = 2∠A。
(2) 2∠A=∠1-∠2
(3) 设∠AEF=∠A'EF=α，∠DFE=∠D'FE=β。
在四边形AEFD中，∠A + ∠D + α + β = 360°，则α + β = 360° - ∠A - ∠D。
∵∠1 + 2α = 180°，∠2 + 2β = 180°，
∴∠1 = 180° - 2α，∠2 = 180° - 2β。
∴∠1 + ∠2 = 360° - 2(α + β) = 360° - 2(360° - ∠A - ∠D) = 2(∠A + ∠D) - 360°。
结论：∠1 + ∠2=2(∠A + ∠D)-360°