《2025年新课标学习方法指导丛书八年级数学上册浙教版》

【例4】已知$A = a + 2$,$B = a^{2}-a + 5$,$C = a^{2}+5a - 19$,其中$a ＞ 2$。
(1)求证：$B - A ＞ 0$,并指出$A与B$的大小关系。
(2)指出$A与C$哪个大,说明理由。
【分析】要比较两个数的大小,常用的方法是作差,再变形(用配方法和因式分解),最后判断符号。
解：(1)$B - A= (a^{2}-a + 5)-(a + 2)= a^{2}-2a + 3= (a - 1)^{2}+2 ＞ 0$,所以$B ＞ A$。
(2)$C - A= (a^{2}+5a - 19)-(a + 2)= a^{2}+4a - 21= (a + 7)(a - 3)$,因为$a ＞ 2$,所以$a + 7 ＞ 0$,所以当$2 ＜ a ＜ 3$时,$A ＞ C$；当$a = 3$时,$A = C$；当$a ＞ 3$时,$A ＜ C$。

答案：
(1)
$B - A= (a^{2}-a + 5)-(a + 2)$
$= a^{2}-a + 5 - a - 2$
$= a^{2}-2a + 3$
$= (a - 1)^{2}+2$
因为$(a - 1)^{2}\geq0$，所以$(a - 1)^{2}+2＞0$，即$B - A＞0$，所以$B＞A$。
(2)
$C - A= (a^{2}+5a - 19)-(a + 2)$
$= a^{2}+5a - 19 - a - 2$
$= a^{2}+4a - 21$
$= (a + 7)(a - 3)$
因为$a＞2$，所以$a + 7＞0$。
当$2＜a＜3$时，$a - 3＜0$，则$(a + 7)(a - 3)＜0$，即$C - A＜0$，所以$A＞C$；
当$a = 3$时，$a - 3 = 0$，则$(a + 7)(a - 3)=0$，即$C - A = 0$，所以$A = C$；
当$a＞3$时，$a - 3＞0$，则$(a + 7)(a - 3)＞0$，即$C - A＞0$，所以$A＜C$。
综上，当$2＜a＜3$时，$A＞C$；当$a = 3$时，$A = C$；当$a＞3$时，$A＜C$。

【例5】已知关于$x$,$y的方程组\left\{\begin{array}{l}2x + 3y = 3m + 7\\x - y = 4m + 1\end{array} \right.的解x和y$都是正数,求$m$的取值范围,并化简$|m - 1|+\left|m + \frac{2}{3}\right|$。
【分析】此题只需先由二元一次方程组求得$x$,$y$的表达式,再由$x$,$y$为正数,令$x ＞ 0$,$y ＞ 0$,解得$m$的取值范围,再化简即可。
解：先解二元一次方程组$\left\{\begin{array}{l}2x + 3y = 3m + 7\\x - y = 4m + 1\end{array} \right.$,得$\left\{\begin{array}{l}x = 3m + 2\\y= -m + 1\end{array} \right.$
又$x$,$y$为正数,则$\left\{\begin{array}{l}x ＞ 0\\y ＞ 0\end{array} \right.$,故$\left\{\begin{array}{l}3m + 2 ＞ 0\\-m + 1 ＞ 0\end{array} \right.$
解得$-\frac{2}{3} ＜ m ＜ 1$,则$|m - 1|+\left|m + \frac{2}{3}\right|=1 - m + m + \frac{2}{3}= \frac{5}{3}$。

答案： 解：解方程组$\left\{\begin{array}{l}2x + 3y = 3m + 7\\x - y = 4m + 1\end{array}\right.$，
由$x - y = 4m + 1$得$x = y + 4m + 1$，
将$x = y + 4m + 1$代入$2x + 3y = 3m + 7$，
$2(y + 4m + 1) + 3y = 3m + 7$，
$2y + 8m + 2 + 3y = 3m + 7$，
$5y = -5m + 5$，
$y = -m + 1$，
则$x = -m + 1 + 4m + 1 = 3m + 2$，
所以$\left\{\begin{array}{l}x = 3m + 2\\y = -m + 1\end{array}\right.$。
因为$x$，$y$都是正数，所以$\left\{\begin{array}{l}3m + 2 ＞ 0\\-m + 1 ＞ 0\end{array}\right.$，
解$3m + 2 ＞ 0$得$m ＞ -\frac{2}{3}$，
解$-m + 1 ＞ 0$得$m ＜ 1$，
所以$m$的取值范围是$-\frac{2}{3} ＜ m ＜ 1$。
因为$-\frac{2}{3} ＜ m ＜ 1$，所以$m - 1 ＜ 0$，$m + \frac{2}{3} ＞ 0$，
则$|m - 1| + |m + \frac{2}{3}| = 1 - m + m + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}$。
综上，$m$的取值范围是$-\frac{2}{3} ＜ m ＜ 1$，化简结果为$\frac{5}{3}$。

【例6】每年的5月20日是“中国学生营养日”,某校社会实践小组在这天开展活动,调查快餐营养情况。他们从食品安全监督部门获取了一份快餐的信息(如图)。根据信息,解答下列问题。

(1)求这份快餐中所含脂肪质量。
(2)若碳水化合物占快餐总质量的40%,求这份快餐所含蛋白质质量。
(3)若这份快餐中蛋白质和碳水化合物所占百分比的和不高于85%,求其中所含碳水化合物质量的最大值。
【分析】(1)快餐中所含脂肪质量= 快餐总质量乘脂肪所占百分比。
(2)根据这份快餐总质量为400克,列出方程求解即可。
(3)根据这份快餐中蛋白质和碳水化合物所占百分比的和不高于85%,列出不等式求解即可。
解：(1)$400×5\% = 20$(克),
答：这份快餐中所含脂肪质量为20克。
(2)设所含矿物质的质量为$x$克,
由题意得$4x + 20 + x + 400×40\% = 400$,
所以$x = 44$,所以$4x = 176$,
答：这份快餐所含蛋白质质量为176克。
(3)设所含矿物质的质量为$y$克,则所含碳水化合物的质量为$(380 - 5y)$克,
所以$4y + (380 - 5y) \leq 400×85\%$,
所以$y \geq 40$,$380 - 5y \leq 180$,
答：所含碳水化合物质量的最大值为180克。

答案：
(1) $400×5\% = 20$(克)
答：这份快餐中所含脂肪质量为$20$克。
(2)设所含矿物质的质量为$x$克，则蛋白质的质量为$4x$克。
由题意得$4x + 20 + x + 400×40\% = 400$
$5x + 20 + 160 = 400$
$5x = 220$
$x = 44$
蛋白质质量$4x = 176$克
答：这份快餐所含蛋白质质量为$176$克。
(3)设所含矿物质的质量为$y$克，则蛋白质质量为$4y$克，所含碳水化合物的质量为$(400 - 20 - y - 4y)=(380 - 5y)$克。
由题意得$4y + (380 - 5y) \leq 400×85\%$
$4y + 380 - 5y \leq 340$
$-y \leq -40$
$y \geq 40$
因为碳水化合物质量$380 - 5y$，$y\geq40$，所以$380 - 5y\leq380 - 5×40 = 180$
答：所含碳水化合物质量的最大值为$180$克。