《2025年新课标学习方法指导丛书八年级数学上册浙教版》

13.已知等腰三角形一腰上的高线等于一腰长的一半,则这个等腰三角形的一个底角等于__________。

答案： 1. 首先分两种情况讨论：
情况一：当等腰三角形为锐角三角形时：
设等腰三角形$ABC$，$AB = AC$，$BD$是腰$AC$上的高，已知$BD=\frac{1}{2}AB$。
在$Rt\triangle ABD$中，根据正弦函数的定义$\sin A=\frac{BD}{AB}$（其中$\angle A$是$\triangle ABC$的顶角）。
因为$BD = \frac{1}{2}AB$，所以$\sin A=\frac{BD}{AB}=\frac{1}{2}$。
又因为$0^{\circ}\lt A\lt90^{\circ}$（锐角三角形的顶角为锐角），所以$\angle A = 30^{\circ}$。
根据等腰三角形的性质$\angle B=\angle C$，再由三角形内角和定理$\angle A+\angle B+\angle C = 180^{\circ}$，即$2\angle B=180^{\circ}-\angle A$。
把$\angle A = 30^{\circ}$代入可得$\angle B=\angle C=\frac{180^{\circ}-30^{\circ}}{2}=75^{\circ}$。
情况二：当等腰三角形为钝角三角形时：
设等腰三角形$ABC$，$AB = AC$，$BD$是腰$AC$延长线上的高，已知$BD=\frac{1}{2}AB$。
在$Rt\triangle ABD$中，根据正弦函数的定义$\sin\angle BAD=\frac{BD}{AB}$。
因为$BD = \frac{1}{2}AB$，所以$\sin\angle BAD=\frac{BD}{AB}=\frac{1}{2}$。
又因为$\angle BAD$是钝角，所以$\angle BAD = 150^{\circ}$，那么$\angle BAC=180^{\circ}-150^{\circ}=30^{\circ}$（$\angle BAC$是等腰三角形的顶角）。
根据等腰三角形的性质$\angle B=\angle C$，由三角形内角和定理$\angle A+\angle B+\angle C = 180^{\circ}$，即$2\angle B=180^{\circ}-\angle A$。
把$\angle A = 150^{\circ}$代入可得$\angle B=\angle C=\frac{180^{\circ}-150^{\circ}}{2}=15^{\circ}$。
所以这个等腰三角形的一个底角等于$15^{\circ}$或$75^{\circ}$。

14.在△ABC中,∠BAC=2∠B,AB=2AC。求证:△ABC是直角三角形。

答案： 解：取$AB$中点$D$，连接$CD$。
因为$AB = 2AC$，$D$为$AB$中点，所以$AD = AC$。
设$\angle B=\alpha$，则$\angle BAC = 2\alpha$。
在$\triangle ADC$中，$AD = AC$，所以$\angle ACD=\angle ADC$。
根据三角形内角和为$180^{\circ}$，$\angle BAC+\angle ACD+\angle ADC = 180^{\circ}$，即$2\alpha+2\angle ACD = 180^{\circ}$，可得$\angle ACD=\angle ADC = 90^{\circ}-\alpha$。
又因为$D$为$AB$中点，所以$BD = AD$，$\angle B=\angle BCD=\alpha$。
那么$\angle ACB=\angle ACD+\angle BCD=(90^{\circ}-\alpha)+\alpha = 90^{\circ}$。
所以$\triangle ABC$是直角三角形。

15.定义:如果一个三角形的两个内角α与β满足2α十β=90°,那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”。

(1)若△ABC是准互余三角形,∠C＞90°,A=60°,则∠B的度数是__________。

(2)若△ABC是直角三角形,ACB=90°。

①如图,若AD是∠BAC的平分线，请判断△ABD是否为“准互余三角形”,并说明理由。

②点E是边BC上一点，△ABE是“准互余三角形”,若∠ABC=24°,则∠EAC的度数是__________。

答案： 1. （1）
已知$\triangle ABC$是准互余三角形，$\angle C\gt90^{\circ}$，$\angle A = 60^{\circ}$。
分两种情况讨论：
情况一：当$2\angle A+\angle B = 90^{\circ}$时，把$\angle A = 60^{\circ}$代入$2\angle A+\angle B = 90^{\circ}$，得$2×60^{\circ}+\angle B = 90^{\circ}$，即$120^{\circ}+\angle B = 90^{\circ}$，$\angle B=-30^{\circ}$（舍去，因为三角形内角大于$0^{\circ}$）。
情况二：当$2\angle B+\angle A = 90^{\circ}$时，把$\angle A = 60^{\circ}$代入$2\angle B+\angle A = 90^{\circ}$，得$2\angle B+60^{\circ}=90^{\circ}$。
移项可得$2\angle B=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}$，解得$\angle B = 15^{\circ}$。
2. （2）①
解：$\triangle ABD$是“准互余三角形”。
理由：因为$\angle ACB = 90^{\circ}$，所以$\angle BAC+\angle B = 90^{\circ}$。
因为$AD$是$\angle BAC$的平分线，所以$\angle BAC = 2\angle BAD$。
则$2\angle BAD+\angle B=90^{\circ}$，根据“准互余三角形”的定义，$\triangle ABD$是“准互余三角形”。
3. （2）②
因为$\angle ACB = 90^{\circ}$，$\angle ABC = 24^{\circ}$，所以$\angle BAC=90^{\circ}-\angle ABC = 90^{\circ}-24^{\circ}=66^{\circ}$。
因为$\triangle ABE$是“准互余三角形”，分两种情况讨论：
情况一：当$2\angle B+\angle BAE = 90^{\circ}$时，把$\angle B = 24^{\circ}$代入$2\angle B+\angle BAE = 90^{\circ}$，得$2×24^{\circ}+\angle BAE = 90^{\circ}$。
计算得$48^{\circ}+\angle BAE = 90^{\circ}$，则$\angle BAE = 90^{\circ}-48^{\circ}=42^{\circ}$，所以$\angle EAC=\angle BAC - \angle BAE=66^{\circ}-42^{\circ}=24^{\circ}$。
情况二：当$2\angle BAE+\angle B = 90^{\circ}$时，把$\angle B = 24^{\circ}$代入$2\angle BAE+\angle B = 90^{\circ}$，得$2\angle BAE+24^{\circ}=90^{\circ}$。
移项得$2\angle BAE=90^{\circ}-24^{\circ}=66^{\circ}$，解得$\angle BAE = 33^{\circ}$，所以$\angle EAC=\angle BAC-\angle BAE=66^{\circ}-33^{\circ}=33^{\circ}$。
综上，答案依次为：（1）$15^{\circ}$；（2）②$24^{\circ}$或$33^{\circ}$。