《2025年新课标学习方法指导丛书八年级数学上册浙教版》

11. 小明用四根木条摆成如图所示的四边形,其中AB= AC,BD= CD。当他不断改变∠A的大小,使这个四边形的形状发生改变时,他发现∠B与∠C的大小存在着一个规律,那么,∠B与∠C的大小存在什么关系呢?请说明理由。
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答案： 连接$AD$。
在$\triangle ABD$和$\triangle ACD$中：
$AB = AC$，$BD = CD$，$AD = AD$（公共边）。
根据$SSS$（三边对应相等）全等判定定理，可得$\triangle ABD\cong\triangle ACD$。
全等三角形对应角相等，所以$\angle B=\angle C$。
综上，$\angle B$与$\angle C$的关系是$\angle B = \angle C$。

12. 如图,已知AD= BC,AC= BD。求证:∠DAO= ∠CBO。
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答案： 连接$AB$。
在$\triangle ABD$和$\triangle BAC$中：
$\begin{cases}AD = BC,\\AC = BD,\\AB = BA.\end{cases}$
根据$SSS$（边边边）判定定理，可得$\triangle ABD\cong\triangle BAC$。
所以$\angle DAB=\angle CBA$。
因为$AD = BC$，$AC = BD$，$AB = BA$，
在$\triangle DAO$与$\triangle CBO$中，
$\angle DAB=\angle CBA$，$\angle DOA=\angle COB$（对顶角相等），
再根据$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等）可得$\triangle DAO\cong\triangle CBO$。
所以$\angle DAO=\angle CBO$。

13. 工人师傅常用角尺平分一个任意角。如图1,∠AOB是一个任意角,在边OA,OB上分别取OM= ON,移动角尺,使角尺两边相同的刻度分别与点M,N重合。过角尺顶点C作射线OC,则OC就是角平分线,为什么?小聪没找到角尺,于是想了另一个方法,如图2,用一把刻度尺在OA,OB上分别取点C,D,使得OC= OD,连结CD,并量出CD的长度,找到中点E,作射线OE,则OE就是角平分线,为什么?
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答案： （1）图1：在△OMC和△ONC中，
∵OM=ON（已知），
CM=CN（角尺相同刻度），
OC=OC（公共边），
∴△OMC≌△ONC（SSS）。
∴∠MOC=∠NOC（全等三角形对应角相等），即OC平分∠AOB。
（2）图2：在△OCE和△ODE中，
∵OC=OD（已知），
CE=DE（E为CD中点），
OE=OE（公共边），
∴△OCE≌△ODE（SSS）。
∴∠COE=∠DOE（全等三角形对应角相等），即OE平分∠AOB。