《2025年新课标学习方法指导丛书八年级数学上册浙教版》

5. 如图所示,∠BAC= ∠ABD,BD,AC 交于点 O,要使 OC= OD,还需添加一个条件:∠C=∠D（答案不唯一）。

答案： ∠C=∠D（答案不唯一）

6. 如图,在△ABC 中,已知∠1= ∠2,BE= CD,AB= 5,AE= 2,则 CE= 3。

答案： 3

7. 如图,已知在△ABC 中,F 是高 AD 和 BE 的交点,且 AD= BD,CD= 4。求线段 DF 的长度。

答案： 因为$AD\perp BC$，$BE\perp AC$，所以$\angle ADC=\angle BDF = 90^{\circ}$，$\angle BEC = 90^{\circ}$。
由于$\angle C+\angle CBE = 90^{\circ}$，$\angle C+\angle CAD = 90^{\circ}$，所以$\angle CBE=\angle CAD$。
在$\triangle BDF$和$\triangle ADC$中，$\begin{cases}\angle BDF=\angle ADC,\\BD = AD,\\\angle CBE=\angle CAD.\end{cases}$
所以$\triangle BDF\cong\triangle ADC(ASA)$。
所以$DF = DC$，已知$CD = 4$，所以$DF = 4$。
综上，线段$DF$的长度为$4$。

8. 如图,在四边形 ABCD 中,AD//CB,AD= CB,E,F 为对角线 BD 上的两点,且 AE//CF。求证:BE= DF。

答案： 证明：
因为$AD// CB$，
根据两直线平行，内错角相等，
所以$\angle ADB = \angle CBD$。
因为$AE// CF$，
同理可得$\angle AED = \angle CFB$。
在$\triangle ADE$和$\triangle CBF$中：
$\begin{cases}\angle ADB = \angle CBD,\\\angle AED = \angle CFB,\\AD = CB.\end{cases}$
根据全等三角形的判定定理$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等），
可得$\triangle ADE\cong\triangle CBF$。
由全等三角形的性质可知，对应边相等，
所以$DE = BF$。
因为$DE = BF$，
等式两边同时减去$EF$，
可得$DE - EF = BF - EF$，
即$BE = DF$。
综上，证明了$BE = DF$。

9. 如图所示,已知 P 是线段 AB 上一点,∠ABC= ∠ABD,则下列判断中错误的是(A)

A.若添加条件 AC= AD,则△APC≌△APD
B.若添加条件 BC= BD,则△APC≌△APD
C.若添加条件∠ACB= ∠ADB,则△APC≌△APD
D.若添加条件∠CAB= ∠DAB,则△APC≌△APD

答案： A