《2025年学习质量监测八年级数学上册人教版》

19. (本小题 10 分)
如图,△ABC 的角平分线 BP 与外角∠ACD 的平分线 CP 相交于点 P. 解答下列问题：
(1)若∠ABC = 50°,∠ACB = 80°,求∠P 的度数；
(2)结合题(1)的计算,确定∠P 与∠BAC 的数量关系,并说明理由.

答案：
(1)在△ABC中，∠ACB=80°，∠ACD为外角，
∴∠ACD=180°-∠ACB=100°．
∵CP平分∠ACD，
∴∠PCD=∠ACD/2=50°．
∵BP平分∠ABC，∠ABC=50°，
∴∠PBC=∠ABC/2=25°．
∵∠PCD是△PBC的外角，
∴∠PCD=∠PBC+∠P．
∴∠P=∠PCD-∠PBC=50°-25°=25°．
(2)∠P=1/2∠BAC．
理由：设∠BAC=α．
∵∠ACD是△ABC的外角，
∴∠ACD=∠BAC+∠ABC=α+∠ABC．
∵CP平分∠ACD，
∴∠PCD=∠ACD/2=(α+∠ABC)/2．
∵BP平分∠ABC，
∴∠PBC=∠ABC/2．
∵∠PCD是△PBC的外角，
∴∠PCD=∠PBC+∠P．
∴∠P=∠PCD-∠PBC=(α+∠ABC)/2 - ∠ABC/2=α/2．
即∠P=1/2∠BAC．

20. (本小题 10 分)
如图,在△ABC 中,BE 平分∠ABC,点 P 在射线 BE 上.

(1)如图①,连接 CP,若∠ABC = 56°,CP // AB,求∠BPC 的度数；
(2)如图②,连接 CP,若∠A = 100°,∠PBC = ∠PCA,求∠BPC 的度数；
(3)若∠ABC = 40°,∠ACB = 30°,直线 CP 与△ABC 的一条边垂直,求∠BPC 的度数.(直接写出结果)

答案：
(1)
∵BE平分∠ABC，∠ABC=56°，
∴∠PBC=∠ABC/2=28°。
∵CP//AB，
∴∠BPC=∠PBC=28°（内错角相等）。
故∠BPC=28°。
(2)设∠PBC=∠PCA=x，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC=2x。
在△ABC中，∠A=100°，
∴∠ABC+∠ACB=80°，即2x+∠ACB=80°，
∴∠ACB=80°-2x。
∵∠ACB=∠PCA+∠PCB，
∴∠PCB=∠ACB-x=80°-3x。
在△BPC中，∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=180°-x-(80°-3x)=100°。
故∠BPC=100°。
(3)40°或70°或100°或110°。