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8. (2024,泰安,5)如图,直线$l // m$,等边三角形$ABC的两个顶点B$,$C分别落在直线l$,$m$上,若$\angle ABE = 21^{\circ}$,则$\angle ACD$的度数是(
A.$45^{\circ}$
B.$39^{\circ}$
C.$29^{\circ}$
D.$21^{\circ}$
B
).A.$45^{\circ}$
B.$39^{\circ}$
C.$29^{\circ}$
D.$21^{\circ}$
答案：
B
9. (2024,福建,9)小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案,如图,其中$\triangle OAB与\triangle ODC$都是等腰三角形,且它们关于直线$l$对称,$E$,$F分别是底边AB$,$CD$的中点,$OE \perp OF$. 下列推断错误的是(
A.$OB \perp OD$
B.$\angle BOC = \angle AOB$
C.$OE = OF$
D.$\angle BOC + \angle AOD = 180^{\circ}$
B
).A.$OB \perp OD$
B.$\angle BOC = \angle AOB$
C.$OE = OF$
D.$\angle BOC + \angle AOD = 180^{\circ}$
答案：
B
10. 如图,小河边有两个村庄$A$,$B$,要在河边建一自来水厂向$A村和B$村供水,下列叙述错误的是(
A.若过点$A向EF作垂线交EF于点M$,则在点$M处建厂离A$村最近
B.若过点$B向EF作垂线交EF于点N$,则在点$N处建厂离B$村最近
C.若要使自来水厂到$A$,$B$两村的水管最短,作$AB$的垂直平分线,与$EF$的交点即为符合条件的点
D.若要使自来水厂到$A$,$B$两村的水管最短,作点$A关于EF$的对称点,连接该对称点与点$B$,与$EF$的交点即为所求
C
).A.若过点$A向EF作垂线交EF于点M$,则在点$M处建厂离A$村最近
B.若过点$B向EF作垂线交EF于点N$,则在点$N处建厂离B$村最近
C.若要使自来水厂到$A$,$B$两村的水管最短,作$AB$的垂直平分线,与$EF$的交点即为符合条件的点
D.若要使自来水厂到$A$,$B$两村的水管最短,作点$A关于EF$的对称点,连接该对称点与点$B$,与$EF$的交点即为所求
答案：
C
11. 一个顶角为$126^{\circ}$的等腰三角形,它的底角的度数为
27
.
答案：
$27^{\circ}$（写数值即可）
12. 若$\triangle ABO关于y$轴对称,$O$为坐标原点,且点$A的坐标为(2,-3)$,则点$B$的坐标为
$(-2, -3)$
.
答案：
$(-2, -3)$的坐标对应选项（按照题目要求，此处应填坐标本身，由于不是选择题，按照要求填写坐标形式）：
$(-2, -3)$
$(-2, -3)$
13. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$\angle A = 36^{\circ}$,$BD平分\angle ABC$,$CE平分\angle ACB$,$CE与BD交于点O$,那么图中的等腰三角形的个数是 .
答案：
1. 首先，在$\triangle ABC$中：
已知$AB = AC$，$\angle A=36^{\circ}$，根据等腰三角形的定义（有两边相等的三角形是等腰三角形），所以$\triangle ABC$是等腰三角形。
由三角形内角和定理$\angle A+\angle ABC+\angle ACB = 180^{\circ}$，可得$\angle ABC=\angle ACB=\frac{180^{\circ}-\angle A}{2}=\frac{180 - 36}{2}=72^{\circ}$。
2. 然后，因为$BD$平分$\angle ABC$，$CE$平分$\angle ACB$：
所以$\angle ABD=\angle DBC=\frac{1}{2}\angle ABC = 36^{\circ}$，$\angle ACE=\angle ECB=\frac{1}{2}\angle ACB = 36^{\circ}$。
在$\triangle ABD$中：
已知$\angle A = 36^{\circ}$，$\angle ABD = 36^{\circ}$，则$\angle A=\angle ABD$，根据“等角对等边”，所以$AD = BD$，$\triangle ABD$是等腰三角形。
在$\triangle ACE$中：
已知$\angle A = 36^{\circ}$，$\angle ACE = 36^{\circ}$，则$\angle A=\angle ACE$，根据“等角对等边”，所以$AE = CE$，$\triangle ACE$是等腰三角形。
3. 接着，在$\triangle BOC$中：
已知$\angle DBC = 36^{\circ}$，$\angle ECB = 36^{\circ}$，则$\angle DBC=\angle ECB$，根据“等角对等边”，所以$OB = OC$，$\triangle BOC$是等腰三角形。
4. 最后，在$\triangle BCD$中：
计算$\angle BDC$，根据三角形内角和定理$\angle BDC=180^{\circ}-\angle DBC-\angle ACB$，把$\angle DBC = 36^{\circ}$，$\angle ACB = 72^{\circ}$代入，得$\angle BDC=180 - 36-72 = 72^{\circ}$，所以$\angle BDC=\angle ACB$，根据“等角对等边”，$BC = BD$，$\triangle BCD$是等腰三角形。
在$\triangle BCE$中：
计算$\angle BEC$，根据三角形内角和定理$\angle BEC=180^{\circ}-\angle ECB-\angle ABC$，把$\angle ECB = 36^{\circ}$，$\angle ABC = 72^{\circ}$代入，得$\angle BEC=180 - 36 - 72=72^{\circ}$，所以$\angle BEC=\angle ABC$，根据“等角对等边”，$BC = CE$，$\triangle BCE$是等腰三角形。
综上，图中的等腰三角形有$\triangle ABC$，$\triangle ABD$，$\triangle ACE$，$\triangle BOC$，$\triangle BCD$，$\triangle BCE$，共$6$个。
故答案为：$6$。
已知$AB = AC$，$\angle A=36^{\circ}$，根据等腰三角形的定义（有两边相等的三角形是等腰三角形），所以$\triangle ABC$是等腰三角形。
由三角形内角和定理$\angle A+\angle ABC+\angle ACB = 180^{\circ}$，可得$\angle ABC=\angle ACB=\frac{180^{\circ}-\angle A}{2}=\frac{180 - 36}{2}=72^{\circ}$。
2. 然后，因为$BD$平分$\angle ABC$，$CE$平分$\angle ACB$：
所以$\angle ABD=\angle DBC=\frac{1}{2}\angle ABC = 36^{\circ}$，$\angle ACE=\angle ECB=\frac{1}{2}\angle ACB = 36^{\circ}$。
在$\triangle ABD$中：
已知$\angle A = 36^{\circ}$，$\angle ABD = 36^{\circ}$，则$\angle A=\angle ABD$，根据“等角对等边”，所以$AD = BD$，$\triangle ABD$是等腰三角形。
在$\triangle ACE$中：
已知$\angle A = 36^{\circ}$，$\angle ACE = 36^{\circ}$，则$\angle A=\angle ACE$，根据“等角对等边”，所以$AE = CE$，$\triangle ACE$是等腰三角形。
3. 接着，在$\triangle BOC$中：
已知$\angle DBC = 36^{\circ}$，$\angle ECB = 36^{\circ}$，则$\angle DBC=\angle ECB$，根据“等角对等边”，所以$OB = OC$，$\triangle BOC$是等腰三角形。
4. 最后，在$\triangle BCD$中：
计算$\angle BDC$，根据三角形内角和定理$\angle BDC=180^{\circ}-\angle DBC-\angle ACB$，把$\angle DBC = 36^{\circ}$，$\angle ACB = 72^{\circ}$代入，得$\angle BDC=180 - 36-72 = 72^{\circ}$，所以$\angle BDC=\angle ACB$，根据“等角对等边”，$BC = BD$，$\triangle BCD$是等腰三角形。
在$\triangle BCE$中：
计算$\angle BEC$，根据三角形内角和定理$\angle BEC=180^{\circ}-\angle ECB-\angle ABC$，把$\angle ECB = 36^{\circ}$，$\angle ABC = 72^{\circ}$代入，得$\angle BEC=180 - 36 - 72=72^{\circ}$，所以$\angle BEC=\angle ABC$，根据“等角对等边”，$BC = CE$，$\triangle BCE$是等腰三角形。
综上，图中的等腰三角形有$\triangle ABC$，$\triangle ABD$，$\triangle ACE$，$\triangle BOC$，$\triangle BCD$，$\triangle BCE$，共$6$个。
故答案为：$6$。
14. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$\angle A = 30^{\circ}$,$BC = 4$,以点$C$为圆心,$CB$长为半径作弧,交$AB于点D$；再分别以点$B和点D$为圆心,大于$\frac{1}{2}BD$的长为半径作弧,两弧相交于点$E$,作射线$CE交AB于点F$,则$AF$的长为
6
.
答案：
1. 首先，在$Rt\triangle ABC$中：
已知$\angle ACB = 90^{\circ}$，$\angle A = 30^{\circ}$，$BC = 4$。
根据直角 - 三角形的性质$AB = 2BC$（在直角三角形中，如果一个锐角等于$30^{\circ}$，那么它所对的直角边等于斜边的一半），所以$AB = 8$。
再根据勾股定理$AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}$，即$AC=\sqrt{8^{2}-4^{2}}=\sqrt{64 - 16}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$。
2. 然后，由作图可知$CE$是$BD$的垂直平分线，即$CF\perp AB$：
因为$\angle A+\angle B = 90^{\circ}$，$\angle BCF+\angle B = 90^{\circ}$，所以$\angle BCF=\angle A = 30^{\circ}$。
在$Rt\triangle BCF$中，$BC = 4$，根据$\cos B=\frac{BF}{BC}$，又因为$\angle B = 60^{\circ}$，所以$\cos60^{\circ}=\frac{BF}{4}$。
根据特殊三角函数值$\cos60^{\circ}=\frac{1}{2}$，则$BF = 2$。
3. 最后，求$AF$的长：
因为$AF=AB - BF$。
已知$AB = 8$，$BF = 2$，所以$AF = 6$。
故答案为$6$。
已知$\angle ACB = 90^{\circ}$，$\angle A = 30^{\circ}$，$BC = 4$。
根据直角 - 三角形的性质$AB = 2BC$（在直角三角形中，如果一个锐角等于$30^{\circ}$，那么它所对的直角边等于斜边的一半），所以$AB = 8$。
再根据勾股定理$AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}$，即$AC=\sqrt{8^{2}-4^{2}}=\sqrt{64 - 16}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$。
2. 然后，由作图可知$CE$是$BD$的垂直平分线，即$CF\perp AB$：
因为$\angle A+\angle B = 90^{\circ}$，$\angle BCF+\angle B = 90^{\circ}$，所以$\angle BCF=\angle A = 30^{\circ}$。
在$Rt\triangle BCF$中，$BC = 4$，根据$\cos B=\frac{BF}{BC}$，又因为$\angle B = 60^{\circ}$，所以$\cos60^{\circ}=\frac{BF}{4}$。
根据特殊三角函数值$\cos60^{\circ}=\frac{1}{2}$，则$BF = 2$。
3. 最后，求$AF$的长：
因为$AF=AB - BF$。
已知$AB = 8$，$BF = 2$，所以$AF = 6$。
故答案为$6$。
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