《2025年学习质量监测八年级数学上册人教版》

24. (本小题 10 分)
如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,点$D$,$E$,$F分别在边AB$,$BC$,$AC$上,且$BE = CF$,$EC = BD$.
(1)求证$\triangle BDE\cong\triangle CEF$；
(2)当$\angle A = 40^{\circ}$时,求$\angle DEF$的度数；
(3)连接$DF$,请你猜想：当$\angle A$为多少度时,$\angle EDF + \angle EFD = 120^{\circ}$,并说明理由.

答案：
(1)证明：
∵AB=AC，
∴∠B=∠C。
在△BDE和△CEF中，
$\left\{\begin{array}{l} BD=EC\\ ∠B=∠C\\ BE=CF\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△CEF(SAS)。
(2)解：
∵∠A=40°，AB=AC，
∴∠B=∠C=$\frac{180° - 40°}{2}=70°$。
∵△BDE≌△CEF，
∴∠BDE=∠CEF。
在△BDE中，∠BDE + ∠BED=180° - ∠B=110°，
∴∠CEF + ∠BED=110°。
∵∠BED + ∠DEF + ∠CEF=180°，
∴∠DEF=180° - 110°=70°。
(3)猜想∠A=60°。理由如下：
在△DEF中，∠EDF + ∠EFD + ∠DEF=180°，
若∠EDF + ∠EFD=120°，则∠DEF=60°。
由
(2)知∠DEF=∠B，
∵AB=AC，
∴∠B=$\frac{180° - ∠A}{2}$，
∴$\frac{180° - ∠A}{2}=60°$，解得∠A=60°。