《2025年点拨训练七年级数学上册沪科版安徽专版》

23. 我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观,形少数时难入微”,数形结合是解决数学问题的重要思想方法. 例如,$|x-2|$的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离. 因为$|x+1|= |x-(-1)|$,所以$|x+1|$的几何意义就是数轴上x所对应的点与$-1$所对应的点之间的距离.
【发现问题】$|x+1|+|x-2|$的最小值是多少？
【探究问题】如图,点A,B,P分别表示数$-1$,2,x,$AB= 3$.

易知$|x+1|+|x-2|$的几何意义是线段PA与PB的长度之和,所以当点P在线段AB上时,$PA+PB= 3$,当点P在点A的左侧或点B的右侧时,$PA+PB＞3$,
所以$|x+1|+|x-2|$的最小值是3.
【解决问题】
(1)$|x-4|+|x+2|$的最小值是______6；
(2)利用上述思想方法直接写出满足$|x+3|+|x-1|＞4$的x的取值范围；
满足$|x+3|+|x-1|＞4$的x的取值范围为$x＜-3$或$x＞1$．
(3)当a为何值时,$|x+a|+|x-3|$的最小值是2？
设点A，B，P分别表示数$-a$，3，x，则$AB=|3-(-a)|=|3+a|$，$|x+a|+|x-3|$的几何意义是线段PA与PB的长度之和．当点P在线段AB上时，$|x+a|+|x-3|$取得最小值，最小值为$AB=|3+a|$．因为$|x+a|+|x-3|$的最小值是2，所以$|3+a|=2$，所以$3+a=2$或$3+a=-2$，解得$a=-1$或$a=-5$．

答案： 解：
(1)6
(2)满足$|x+3|+|x-1|＞4$的x的取值范围为$x＜-3$或$x＞1$．
(3)设点A，B，P分别表示数$-a$，3，x，则$AB=|3-(-a)|=|3+a|$，$|x+a|+|x-3|$的几何意义是线段PA与PB的长度之和．当点P在线段AB上时，$|x+a|+|x-3|$取得最小值，最小值为$AB=|3+a|$．因为$|x+a|+|x-3|$的最小值是2，所以$|3+a|=2$，所以$3+a=2$或$3+a=-2$，解得$a=-1$或$a=-5$．