《2025年数学实验手册九年级全一册》

2. 探索同弧所对圆周角与圆心角的关系
打开动态几何软件,画$\odot A$,并在$\odot A$上任取点 B、C、D,连接 AC、AD、CB、DB,分别度量$\angle CBD$、$\angle CAD$的度数.
如图 2-2,拖动点 C($\angle CAD＜180^\circ$),观察$\angle CBD和\angle CAD$的度数变化情况.你有什么发现？请说明理由.

答案： 解：发现：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即∠CBD=$\frac{1}{2}$∠CAD。
理由：
连接AB。
∵AC=AB=AD（同圆半径相等）
∴∠ACB=∠ABC，∠ADB=∠ABD（等边对等角）
设∠ABC=α，∠ABD=β，则∠CBD=α-β。
在△ABC中，∠CAD=∠ACB+∠ABC=α+α=2α（三角形外角等于不相邻两内角和）
在△ABD中，∠CAD=∠ADB+∠ABD=β+β=2β（三角形外角等于不相邻两内角和）
∴∠CAD=∠CAB-∠DAB=2α-2β=2(α-β)=2∠CBD
即∠CBD=$\frac{1}{2}$∠CAD。

3. 探索圆内接四边形内角之间的关系
打开动态几何软件,画$\odot O$,在$\odot O$上依次取点 A、B、C、D,将它们顺次连接成四边形 ABCD,分别度量$\angle A$、$\angle B$、$\angle C$、$\angle D$的度数.
如图 2-3,拖动四边形 ABCD 的任一顶点,观察各内角的变化情况.你有什么发现？请说明理由.

答案： 【解析】：本题主要考察圆内接四边形性质，即圆内接四边形的对角互补。我们可以通过观察或计算验证这一性质，并利用圆周角定理及其推论进行证明。
【答案】：解：发现$\angle A+\angle C=180^\circ$，$\angle B+\angle D=180^\circ$。
理由：
如图，连接$OB$、$OD$。
∵$\angle BAD=\frac{1}{2}\overset{\frown}{BCD}$的度数，$\angle BCD=\frac{1}{2}\overset{\frown}{BAD}$的度数，
∴$\angle BAD+\angle BCD=\frac{1}{2}×360^\circ=180^\circ$。
同理可得$\angle ABC+\angle ADC=180^\circ$。