《2025年数学实验手册九年级全一册》

游戏规则:同时抛掷两枚骰子,若和为2、3、4、5中的一个数,则奖励甲1个"笑脸";若和为6、7、8中的一个数,则奖励乙1个"笑脸";若和为9、10、11、12中的一个数,则奖励丙1个"笑脸".
1. 猜想
若同时抛掷两枚骰子一次,你认为甲、乙、丙中谁获得"笑脸"的可能性最大?
2. 验证
四人一组做游戏,一人当裁判,其余三人为甲、乙、丙.每组同时抛掷两枚骰子20次,获得"笑脸"最多者获胜.
你们小组谁获胜了？与你的猜想一致吗？

3. 说理
分别计算甲、乙、丙获得"笑脸"的概率,判断这个游戏是否公平.如果不公平,请你修改游戏规则,使得游戏公平,并再次验证.

4. 拓展
规则修改为:同时抛掷两枚骰子,若两枚骰子的点数和小于7,则奖励甲1个"笑脸";若点数和等于7,则奖励乙2个"笑脸";若点数和大于7,则奖励丙1个"笑脸".
判断这个游戏是否公平.如果不公平,请你修改游戏规则,使得游戏公平.

答案： 【解析】：本题考查概率的计算。需要分别计算和为2、3、4、5，和为6、7、8，以及和为9、10、11、12的概率，然后比较这些概率以判断游戏是否公平。同时抛掷两枚骰子，每个骰子有6个面，点数从1到6。因此，总共有$6 × 6 = 36$种可能的结果。和为2、3、4、5的情况：和为2：只有(1,1)，共1种情况。和为3：(1,2)，(2,1)，共2种情况。和为4：(1,3)，(3,1)，(2,2)，共3种情况。和为5：(1,4)，(4,1)，(2,3)，(3,2)，共4种情况。因此，和为2、3、4、5的总情况数为$1+2+3+4=10$种。所以奖励甲的概率为$\frac{10}{36} = \frac{5}{18}$。和为6、7、8的情况：和为6：(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，共5种情况。和为7：(1,6)，(6,1)，(2,5)，(5,2)，(3,4)，(4,3)，共6种情况。和为8：(2,6)，(6,2)，(3,5)，(5,3)，(4,4)，共5种情况。因此，和为6、7、8的总情况数为$5+6+5=16$种（但需要注意(3,3)等重复情况只计算一次，实际独立情况仍为基于组合的计算，即6+5+5=16（种）（去除重复计算的组合后结果仍相同，因为这里是直接列举后计数，未实际产生重复计算），但按列举法直接得出16种也正确）。所以奖励乙的概率为$\frac{16}{36} = \frac{4}{9}$。和为9、10、11、12的情况：和为9：(3,6)，(6,3)，(4,5)，(5,4)，共4种情况。和为10：(4,6)，(6,4)，(5,5)，共3种情况（但(5,5)只算一种情况）。和为11：(5,6)，(6,5)，共2种情况。和为12：(6,6)，共1种情况。因此，和为9、10、11、12的总情况数为$4+3+2+1=10$种。所以奖励丙的概率为$\frac{10}{36} = \frac{5}{18}$。比较三个概率，发现$\frac{5}{18} \neq \frac{4}{9}$，且$\frac{5}{18} + \frac{5}{18} + \frac{4}{9} = 1$，但甲和丙的概率相等，而乙的概率大于甲和丙，因此游戏不公平。【答案】：实验不公平。奖励甲的概率为$\frac{5}{18}$，奖励乙的概率为$\frac{4}{9}$，奖励丙的概率为$\frac{5}{18}$。由于乙的概率大于甲和丙，因此游戏对乙更有利，所以游戏不公平。
@@答案略
@@【解析】：本题是一个实验题，需要通过实际抛掷骰子来统计结果。题目要求验证四人一组做游戏，其中一人担任裁判，其余三人（甲、乙、丙）同时抛掷两枚骰子20次，并统计每个人获得“笑脸”（即两枚骰子点数相同）的次数，以决定获胜者。由于这是一个基于概率的实验，因此结果可能因实验的随机性而有所不同。在实际操作中，需要记录每个人获得“笑脸”的次数，并比较三者的次数以确定获胜者。由于题目没有给出具体的实验结果，因此无法直接给出答案，但可以根据概率原理进行一些分析。理论上，每个人抛掷两枚骰子获得“笑脸”的概率是相等的，因为每枚骰子出现任意点数的概率都是1/6，所以两枚骰子点数相同的概率是$1/6 × 1/6 × 6 = 1/6$（因为有6种可能的“笑脸”组合：1-1, 2-2, ..., 6-6）。因此，在理想情况下，甲、乙、丙三人获胜的概率应该是相等的。然而，在实际实验中，由于样本量（20次）相对较小，随机性可能导致结果偏离理论概率。因此，实际获胜者可能与理论预期不一致。【答案】：由于本题是一个实验题，且未给出具体的实验结果，因此无法直接给出哪个小组的成员获胜。在实际操作中，需要记录甲、乙、丙三人各自获得“笑脸”的次数，并比较以确定获胜者。答案将取决于实际的实验结果。如果实验结果显示某人获得的“笑脸”次数最多，则该人获胜。与猜想是否一致取决于实验结果与理论预期的符合程度。
@@【解析】：本题考查的是概率的计算以及游戏公平性的判断。首先，需要明确甲、乙、丙三人获得"笑脸"的所有可能情况，并计算各自的概率。然后，比较这三个概率，如果相等，则游戏公平；如果不相等，则游戏不公平。如果游戏不公平，需要修改游戏规则，使得三人的概率相等，从而验证新的游戏规则是否公平。【答案】：答案依赖于具体的游戏规则和“笑脸”的获得条件，这里给出一个假设性的解答。假设游戏规则是：掷一枚骰子，骰子有六个面，分别标有1, 2, 3, 4, 5, 6。如果掷出1或2，甲获得"笑脸"；如果掷出3或4，乙获得"笑脸"；如果掷出5或6，丙获得"笑脸"。那么，甲获得"笑脸"的概率 $P_1$ 是 $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$；乙获得"笑脸"的概率 $P_2$ 也是 $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$；丙获得"笑脸"的概率 $P_3$ 同样是 $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$。由于 $P_1 = P_2 = P_3$，所以这个游戏是公平的。如果原游戏规则不公平，比如掷出1, 2, 3甲获得"笑脸"，掷出4, 5乙获得"笑脸"，掷出6丙获得"笑脸"，那么甲的概率是$\frac{1}{2}$，乙的概率是$\frac{1}{3}$，丙的概率是$\frac{1}{6}$。此时游戏不公平。为了修改游戏规则使其公平，可以调整为：掷出1或4，甲获得"笑脸"；掷出2或5，乙获得"笑脸"；掷出3或6，丙获得"笑脸"。这样，三人的概率都是$\frac{1}{3}$，游戏就变得公平了。
@@解：同时抛掷两枚骰子，共有36种等可能的结果。点数和小于7的情况有：(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(5,1)，共15种，所以甲获奖概率为15/36=5/12。点数和等于7的情况有：(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)，共6种，所以乙获奖概率为6/36=1/6。点数和大于7的情况有36-15-6=15种，所以丙获奖概率为15/36=5/12。甲、丙平均每次获得笑脸数为5/12×1=5/12，乙平均每次获得笑脸数为1/6×2=1/3=4/12。因为5/12≠4/12，所以游戏不公平。修改规则：若点数和小于7，奖励甲1个笑脸；若点数和等于7，奖励乙5个笑脸；若点数和大于7，奖励丙1个笑脸。（答案不唯一，使乙平均每次获得笑脸数为5/12即可）