《2025年数学实验手册九年级全一册》

1. 操作与比较
取一张正方形纸片,按如图 11-1 所示的方法进行操作.

(1) 与其他同学制作的无盖长方体纸盒进行比较,估计谁制作的无盖长方体纸盒容积要大一些.
(2) 猜想:怎样才能使制作的无盖长方体纸盒的容积最大?

答案： 【解析】：
(1) 本题主要考查了无盖长方体纸盒的容积计算以及通过实际操作来估计和比较不同纸盒容积的大小，同时涉及到对如何使容积最大的猜想，这需要运用长方体体积公式$V = a× b× h$（其中$a$、$b$、$h$分别为长方体的长、宽、高）来进行分析。
(2) 要使无盖长方体纸盒容积最大，需要考虑从正方形四个角剪去的小正方形的大小对长方体长、宽、高的影响。设正方形纸片边长为$a$，剪去小正方形边长为$x$，则长方体底面边长为$a - 2x$，高为$x$，容积$V=(a - 2x)(a - 2x)x$，通过分析这个函数关系来猜想使容积最大的条件。
【答案】：
(1) 答案不唯一，需通过实际测量或计算不同同学制作的无盖长方体纸盒的长、宽、高，然后根据长方体体积公式$V = a× b× h$计算出容积，再进行比较。
(2) 猜想：设正方形纸片边长为$a$，从四个角剪去的小正方形边长为$x$，则无盖长方体纸盒底面边长为$a - 2x$，高为$x$，容积$V=(a - 2x)(a - 2x)x$。通过分析可知，当剪去的小正方形边长$x$取适当值时，容积$V$最大，一般可以通过对$V$关于$x$求导并令导数为$0$来求得极值点（九年级可能不要求严格证明），从实际操作角度，可以通过多次尝试不同$x$值来猜想，通常当剪去的小正方形边长约为正方形纸片边长的$\frac{1}{6}$时，制作的无盖长方体纸盒容积较大。