《2025年数学实验手册九年级全一册》

2. 探索二次函数 $ y= ax^{2} $ 的图像和 $ y= a(x-h)^{2} $ 的图像之间的关系
(1) 用透明纸片探究.
将透明纸片上二次函数 $ y= 0.5x^{2} $ 的图像与图 4-4 中的二次函数 $ y= 0.5x^{2} $ 的图像(虚线图)重合,把透明纸片沿 x 轴向右平移 5 个单位长度.你有什么发现？
将透明纸片上二次函数 $ y= 0.5x^{2} $ 的图像与图 4-4 中的二次函数 $ y= 0.5x^{2} $ 的图像(虚线图)重合,把透明纸片沿 x 轴向左平移 5 个单位长度.你有什么发现？

(2) 用动态几何软件探究.
打开动态几何软件,建立平面直角坐标系.在 x 轴上任取两点 A、H,用字母 a、h 表示点 A、H 的横坐标,画二次函数 $ y= ax^{2} $ 的图像和 $ y= a(x-h)^{2} $ 的图像,如图 4-5 所示.

在 y 轴上任取一点 N,过点 N 画 y 轴的垂线 l,直线 l 交二次函数 $ y= ax^{2} $ 图像的左侧于点 D、交二次函数 $ y= a(x-h)^{2} $ 图像的左侧于点 E,度量并计算点 D、E 的横坐标之差,你有什么发现？
移动点 A、H,改变 a、h 的值,再移动点 N,观察点 D、E 的横坐标之差有何变化.
思考:函数 $ y= a(x-h)^{2} $ 的图像如何由函数 $ y= ax^{2} $ 的图像平移得到？

答案： 【解析】：本题主要考查二次函数图像的平移规律。
对于二次函数$y = ax^{2}$和$y=a(x - h)^{2}$，当$h\gt0$时，$y=a(x - h)^{2}$的图像是由$y = ax^{2}$的图像向右平移$h$个单位长度得到的；当$h\lt0$时，$y=a(x - h)^{2}$的图像是由$y = ax^{2}$的图像向左平移$\vert h\vert$个单位长度得到的。
（1）用透明纸片探究：
将透明纸片上二次函数$y = 0.5x^{2}$的图像与图4 - 4中的二次函数$y = 0.5x^{2}$的图像（虚线图）重合，把透明纸片沿$x$轴向右平移5个单位长度，会发现$y = 0.5x^{2}$的图像向右平移5个单位长度后与$y=0.5(x - 5)^{2}$的图像重合。
把透明纸片上二次函数$y = 0.5x^{2}$的图像与图4 - 4中的二次函数$y = 0.5x^{2}$的图像（虚线图）重合，把透明纸片沿$x$轴向左平移5个单位长度，会发现$y = 0.5x^{2}$的图像向左平移5个单位长度后与$y=0.5(x + 5)^{2}$的图像重合。
（2）用动态几何软件探究：
在$y$轴上任取一点$N$，过点$N$画$y$轴的垂线$l$，直线$l$交二次函数$y = ax^{2}$图像的左侧于点$D$、交二次函数$y=a(x - h)^{2}$图像的左侧于点$E$，度量并计算点$D$、$E$的横坐标之差，会发现点$D$、$E$的横坐标之差为$h$。
移动点$A$、$H$，改变$a$、$h$的值，再移动点$N$，观察点$D$、$E$的横坐标之差始终为$h$。
思考：函数$y=a(x - h)^{2}$的图像是由函数$y = ax^{2}$的图像平移得到的。当$h\gt0$时，函数$y = ax^{2}$的图像向右平移$h$个单位长度得到函数$y=a(x - h)^{2}$的图像；当$h\lt0$时，函数$y = ax^{2}$的图像向左平移$\vert h\vert$个单位长度得到函数$y=a(x - h)^{2}$的图像。
【答案】：
(1)沿$x$轴向右平移5个单位长度后，$y = 0.5x^{2}$的图像与$y=0.5(x - 5)^{2}$的图像重合；沿$x$轴向左平移5个单位长度后，$y = 0.5x^{2}$的图像与$y=0.5(x + 5)^{2}$的图像重合。
(2)点$D$、$E$的横坐标之差为$h$；移动点$A$、$H$，改变$a$、$h$的值，再移动点$N$，点$D$、$E$的横坐标之差始终为$h$；函数$y=a(x - h)^{2}$的图像是由函数$y = ax^{2}$的图像平移得到的，当$h\gt0$时，向右平移$h$个单位长度，当$h\lt0$时，向左平移$\vert h\vert$个单位长度。