《2025年数学实验手册九年级全一册》

1. 探索二次函数 $ y= ax^{2} $ 的图像和 $ y= ax^{2}+k $ 的图像之间的关系
(1) 用透明纸片探究.
剪下附录 B 中如图 4-1 所示的透明纸片.将透明纸片上的二次函数 $ y= 0.5x^{2} $ 的图像与图 4-2 中的二次函数 $ y= 0.5x^{2} $ 的图像(虚线图)重合,把透明纸片沿 y 轴向上平移 4 个单位长度.你有什么发现？请通过计算验证你的发现.


将透明纸片上二次函数 $ y= 0.5x^{2} $ 的图像与图 4-2 中的二次函数 $ y= 0.5x^{2} $ 的图像(虚线图)重合,把透明纸片沿 y 轴向下平移 2 个单位长度.你有什么发现？请通过计算验证你的发现.
(2) 用动态几何软件探究.
打开动态几何软件,在 x 轴上任取一点 A,用字母 a 表示点 A 的横坐标,在 y 轴上任取一点 K,用字母 k 表示点 K 的纵坐标,画二次函数 $ y= ax^{2} $ 的图像和 $ y= ax^{2}+k $ 的图像,如图 4-3 所示.

在 x 轴上任取一点 M,过点 M 画 x 轴的垂线 l,直线 l 分别交二次函数 $ y= ax^{2} $ 与 $ y= ax^{2}+k $ 的图像于点 C、D.度量并计算点 C、D 的纵坐标之差,你有什么发现？
移动点 A、K,改变 a、k 的值,再移动点 M,观察点 C、D 的纵坐标之差有何变化.
思考:二次函数 $ y= ax^{2}+k $ 的图像如何由二次函数 $ y= ax^{2} $ 的图像平移得到？

答案： 【解析】：
本题主要考察二次函数图像的平移性质。
对于函数$y = ax^{2} + k$，当$a$保持不变，$k$发生变化时，函数的图像会沿着$y$轴进行上下平移。
具体地，当$k$增大时，图像向上平移；当$k$减小时，图像向下平移。
（1）用透明纸片探究：
剪下附录B中如图4-1所示的透明纸片，将透明纸片上的二次函数$y = 0.5x^{2}$的图像与图4-2中的二次函数$y = 0.5x^{2}$的图像（虚线图）重合。
把透明纸片沿$y$轴向上平移4个单位长度，发现图像上的每一点都向上移动了4个单位长度，即函数值增加了4，这验证了函数$y = 0.5x^{2} + 4$的图像是由$y = 0.5x^{2}$的图像向上平移4个单位长度得到的。
同样地，把透明纸片沿$y$轴向下平移2个单位长度，发现图像上的每一点都向下移动了2个单位长度，即函数值减少了2，这验证了函数$y = 0.5x^{2} - 2$的图像是由$y = 0.5x^{2}$的图像向下平移2个单位长度得到的。
（2）用动态几何软件探究：
打开动态几何软件，在$x$轴上任取一点A，用字母$a$表示点A的横坐标，在$y$轴上任取一点K，用字母$k$表示点K的纵坐标。
画二次函数$y = ax^{2}$的图像和$y = ax^{2} + k$的图像。
在$x$轴上任取一点M，过点M画$x$轴的垂线l，直线l分别交二次函数$y = ax^{2}$与$y = ax^{2} + k$的图像于点C、D。
度量并计算点C、D的纵坐标之差，发现这个差值就是$k$，即函数$y = ax^{2} + k$与$y = ax^{2}$的图像在相同$x$值下的$y$值之差。
移动点A、K，改变$a$、$k$的值，再移动点M，观察点C、D的纵坐标之差，发现无论$a$、$k$和$x$如何变化，这个差值始终等于$k$。
思考：二次函数$y = ax^{2} + k$的图像如何由二次函数$y = ax^{2}$的图像平移得到？
答：当$k ＞ 0$时，二次函数$y = ax^{2} + k$的图像由二次函数$y = ax^{2}$的图像向上平移$k$个单位长度得到；当$k ＜ 0$时，二次函数$y = ax^{2} + k$的图像由二次函数$y = ax^{2}$的图像向下平移$|k|$个单位长度得到。
【答案】：
(1) 发现图像沿$y$轴上下平移，计算验证了平移规律；
(2) 发现点C、D的纵坐标之差为$k$，思考得出二次函数$y = ax^{2} + k$的图像由二次函数$y = ax^{2}$的图像平移得到。