《2025年数学实验手册九年级全一册》

1. 画图与测量
分别画出图 13-1 中圆的内接正三角形、内接正方形、内接正六边形、内接正八边形,测量各正多边形的边长,并计算其周长.

边长= 假设测量得$a_测$（实际测量值）
周长= $C_{1测}=3a_测$
边长= 假设测量得$b_测$（实际测量值）
周长= $C_{2测}=4b_测$
边长= 假设测量得$c_测$（实际测量值）
周长= $C_{3测}=6c_测$
边长= 假设测量得$d_测$（实际测量值）
周长= $C_{4测}=8d_测$

答案： 【解析】：
本题主要考查圆内接正多边形的性质以及正多边形边长和周长的计算。
对于圆内接正多边形，我们可以通过圆的相关性质，如利用圆心角、弦长等知识来求解边长，进而计算出周长。
圆内接正三角形的边长：
设圆的半径为$r$，圆内接正三角形的边长为$a$。
连接圆心与正三角形的三个顶点，将正三角形分割成三个全等的等腰三角形，等腰三角形的顶角为$120^{\circ}$，腰长为$r$。
过圆心作等腰三角形底边的高，根据三角函数可得$\frac{a}{2}=r\sin60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}r$，则$a = \sqrt{3}r$。
其周长$C_1 = 3a = 3\sqrt{3}r$。
圆内接正方形的边长：
设圆的半径为$r$，圆内接正方形的边长为$b$。
连接圆心与正方形的四个顶点，构成四个全等的等腰直角三角形，等腰直角三角形的斜边为圆的直径$2r$。
根据勾股定理$b^2 + b^2=(2r)^2$，即$2b^2 = 4r^2$，解得$b=\sqrt{2}r$。
其周长$C_2 = 4b = 4\sqrt{2}r$。
圆内接正六边形的边长：
设圆的半径为$r$，圆内接正六边形的边长为$c$。
连接圆心与正六边形的六个顶点，将正六边形分割成六个全等的等边三角形，等边三角形的边长等于圆的半径$r$，即$c = r$。
其周长$C_3 = 6c = 6r$。
圆内接正八边形的边长：
设圆的半径为$r$，圆内接正八边形的边长为$d$。
连接圆心与正八边形的相邻两个顶点，再作垂直于该边的半径，将正八边形的一个边所对应的等腰三角形进行细分。
圆心角为$\frac{360^{\circ}}{8}=45^{\circ}$，则$\frac{d}{2}=r\sin22.5^{\circ}$，$d = 2r\sin22.5^{\circ}$。
其周长$C_4 = 8d = 16r\sin22.5^{\circ}$。
由于本题是画图与测量题，在实际操作中，我们通过画图工具画出圆的内接正三角形、内接正方形、内接正六边形、内接正八边形后，用测量工具测量边长，再根据上述周长公式计算周长。
【答案】：
边长（测量值可能因绘图精度有所不同）：
圆内接正三角形边长：假设测量得$a_测$（实际测量值）；
圆内接正方形边长：假设测量得$b_测$（实际测量值）；
圆内接正六边形边长：假设测量得$c_测$（实际测量值）；
圆内接正八边形边长：假设测量得$d_测$（实际测量值）。
周长：
圆内接正三角形周长：$C_{1测}=3a_测$；
圆内接正方形周长：$C_{2测}=4b_测$；
圆内接正六边形周长：$C_{3测}=6c_测$；
圆内接正八边形周长：$C_{4测}=8d_测$。