《2025年数学实验手册九年级全一册》

3. 实践与应用
(1) 利用一张边长为 60 cm 的正方形纸片,制作容积最大的无盖长方体纸盒.如何制作?
(2) 利用一张长 30 cm、宽 20 cm 的矩形纸片,制作如图 11-2 所示的底面积为$ 200 cm^2 $的无盖长方体纸盒.请设计制作方案.

答案：
(1) 解：设剪去的小正方形边长为 $ x \, cm $，则长方体纸盒的长、宽为 $ (60 - 2x) \, cm $，高为 $ x \, cm $，容积 $ V = x(60 - 2x)^2 $。通过配方或求导（九年级可通过二次函数性质类比），当 $ x = 10 $ 时，$ V $ 最大。
制作方法：在正方形纸片四个角各剪去一个边长为 $ 10 \, cm $ 的小正方形，沿虚线折起即可。
(2) 解：设剪去的小正方形边长为 $ x \, cm $，则长方体纸盒的长为 $ (30 - 2x) \, cm $，宽为 $ (20 - 2x) \, cm $。
由底面积 $ (30 - 2x)(20 - 2x) = 200 $，
整理得 $ x^2 - 25x + 100 = 0 $，
解得 $ x_1 = 5 $，$ x_2 = 20 $（$ x_2 = 20 $ 不合题意，舍去）。
制作方法：在矩形纸片四个角各剪去一个边长为 $ 5 \, cm $ 的小正方形，沿虚线折起即可。