《2025年数学实验手册九年级全一册》

2. 用正方形纸片折出黄金矩形
(1)揭下附录1中的正方形纸片,按如图5-2所示的方法折叠.

(2)如图5-3,四边形ABCD为正方形,EF、CE、CG、GH为2(1)中的折痕.试说明四边形BCHG为黄金矩形.

(3)上述折纸的方法与活动1中找黄金分割点的作图方法有什么联系？

答案：
(2)证明：设正方形ABCD的边长为2a。
由折叠性质，EF为AD中垂线，
∴AE=ED=a。
在Rt△CDE中，CE=√(ED²+CD²)=√(a²+(2a)²)=√5a。
由折叠知CG=CE=√5a，且GH⊥BC，BG=CH。
在Rt△BCG中，BG=√(CG²-BC²)=√((√5a)²-(2a)²)=a。
∴GH=BC=2a，BG=a。
∴BG/GH=a/(2a)=1/2，GH/BG=2a/a=2，
又
∵黄金矩形定义为宽与长的比为(√5-1)/2≈0.618，
而(√5-1)/2≈0.618，且通过计算得HG/BG=2，BG/HG=1/2，
修正：应为HG=BC=2a，CH=BG=a，
∴BC=2a，CH=a，
∴BC/CH=2a/a=2，CH/BC=a/(2a)=1/2，
实际应为：由折叠得CH=CE-HE，HE=ED=a，
CE=√5a，
∴CH=√5a - a = a(√5-1)，
BC=2a，
∴CH/BC=(√5-1)a/(2a)=(√5-1)/2，
∴四边形BCHG为黄金矩形。
(3)上述折纸方法通过折叠产生的折痕CG，使得点H为BC的黄金分割点，与活动1中利用勾股定理构造线段长度关系找黄金分割点的原理一致，均通过几何作图得到黄金分割比例。

3. 用矩形纸片折出黄金矩形
(1)如何用一张矩形纸片折出一个黄金矩形？与同伴交流你的想法.
(2)如何用黄金矩形纸片再折出一个黄金矩形？除了3(1)中的方法,你还有其他方法吗？揭下附录1中如图5-4所示的黄金矩形纸片,动手试试.

(3)请证明3(2)中你折出的四边形是黄金矩形.

答案：
(1)解：①将矩形纸片ABCD的一边BC对折，使点B与点C重合，折痕为EF，得到中点E、F；②以点F为顶点，将FC向上翻折，使点C落在AD边上的点G处，折痕为FH；③沿GH折叠，得到矩形AGHD，即为黄金矩形。
(2)解：方法一：将黄金矩形ABCD的长边AB对折，使点A与点B重合，折痕为EF，得到矩形AEFD，即为黄金矩形。方法二：在黄金矩形ABCD中，以短边AD为边在矩形内作正方形AEFD，剩余矩形EBCF即为黄金矩形。
(3)证明：设原黄金矩形ABCD中，AB=√5+1，AD=2（满足黄金比(√5-1)/2）。方法二：作正方形AEFD，则AE=AD=2，EB=AB-AE=√5+1-2=√5-1。在矩形EBCF中，EB=√5-1，BC=AD=2。EB/BC=(√5-1)/2，即短边与长边之比为黄金比，故矩形EBCF是黄金矩形。