《2025年通成学典课时作业本九年级数学上册苏科版宿迁专版》

9. 用配方法解下列方程:
(1)$m^{2}= 8m+20;$
(2)$x^{2}-2= -10x;$
(3)$y^{2}+1= -2\sqrt {2}y;$
(4)$x^{2}+\frac {1}{2}= \frac {5}{2}x.$

答案： 【解析】：
本题主要考察用配方法解一元二次方程。配方法是一种将一元二次方程转化为完全平方的形式，从而简化求解过程的方法。
对于形如$ax^2 + bx + c = 0$的一元二次方程，当$a=1$时，可以通过配方，将方程转化为$(x+h)^2 = k$的形式，然后求解。
(1) 对于方程$m^2 = 8m + 20$，可以先将常数项移到等式的另一边，得到$m^2 - 8m = 20$，然后进行配方，得到$(m-4)^2 = 36$，最后求解。
(2) 对于方程$x^2 - 2 = -10x$，先将含$x$的项移到等式的一边，得到$x^2 + 10x = 2$，然后进行配方，得到$(x+5)^2 = 27$，最后求解。
(3) 对于方程$y^2 + 1 = -2\sqrt{2}y$，先将含$y$的项移到等式的一边，得到$y^2 + 2\sqrt{2}y = -1$，然后进行配方，得到$(y+\sqrt{2})^2 = 1$，最后求解。
(4) 对于方程$x^2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}x$，先将含$x$的项移到等式的一边，得到$x^2 - \frac{5}{2}x = -\frac{1}{2}$，然后进行配方，得到$(x-\frac{5}{4})^2 = \frac{17}{16}$，最后求解。
【答案】：
(1) 解：
原方程可化为：
$m^2 - 8m = 20$，
配方得：
$(m-4)^2 = 36$，
开平方得：
$m-4 = \pm 6$，
解得：
$m_1 = 10, m_2 = -2$。
(2) 解：
原方程可化为：
$x^2 + 10x = 2$，
配方得：
$(x+5)^2 = 27$，
开平方得：
$x+5 = \pm 3\sqrt{3}$，
解得：
$x_1 = -5 + 3\sqrt{3}, x_2 = -5 - 3\sqrt{3}$。
(3) 解：
原方程可化为：
$y^2 + 2\sqrt{2}y = -1$，
配方得：
$(y+\sqrt{2})^2 = 1$，
开平方得：
$y+\sqrt{2} = \pm 1$，
解得：
$y_1 = -\sqrt{2} + 1, y_2 = -\sqrt{2} - 1$。
(4) 解：
原方程可化为：
$x^2 - \frac{5}{2}x = -\frac{1}{2}$，
配方得：
$(x-\frac{5}{4})^2 = \frac{17}{16}$，
开平方得：
$x-\frac{5}{4} = \pm \frac{\sqrt{17}}{4}$，
解得：
$x_1 = \frac{5 + \sqrt{17}}{4}, x_2 = \frac{5 - \sqrt{17}}{4}$。

10. 有n个关于x的一元二次方程:$x^{2}+2x-8= 0;x^{2}+2×2x-8×2^{2}= 0;... ;x^{2}+2nx-8n^{2}= 0.$小静同学解第1个方程$x^{2}+2x-8= 0$的步骤如下:①$x^{2}+2x= 8$;②$x^{2}+2x+1= 8+1;$③$(x+1)^{2}= 9$;④$x+1= \pm 3$;⑤$x= 1\pm 3$;⑥$x_{1}= 4,x_{2}= -2.$
(1) 小静同学的解法是从步骤______开始出现错误的(填序号);
(2) 用配方法解第n个方程$x^{2}+2nx-8n^{2}= 0$(用含n的式子表示方程的根).
(1) ⑤
(2) $x_{1}=-4n$，$x_{2}=2n$

答案： 【解析】：
(1) 小静同学在解第一个方程 $x^{2} + 2x - 8 = 0$ 的步骤中，前面的步骤都是正确的，包括移项、配方等，但在步骤⑤中，她错误地将 $x+1=\pm3$ 解为 $x=1\pm3$，而正确的应该是 $x=-1\pm3$。因此，错误出现在步骤⑤。
(2) 对于第n个方程 $x^{2} + 2nx - 8n^{2} = 0$，我们可以使用配方法来求解。
首先，将方程改写为 $x^{2} + 2nx = 8n^{2}$。
接着，进行配方，得到 $x^{2} + 2nx + n^{2} = 8n^{2} + n^{2}$。
然后，将左边写成完全平方的形式，即 $(x+n)^{2} = 9n^{2}$。
最后，开方得到 $x+n = \pm 3n$，解得 $x_{1} = -4n, x_{2} = 2n$。
【答案】：
(1) ⑤
(2) $x_{1} = -4n, x_{2} = 2n$

11. (易错题)(2023·巴中)先化简,再求值:$(\frac {1}{x+1}+x-1)÷\frac {x^{2}}{x^{2}+2x+1}$,其中x的值是方程$x^{2}-2x-3= 0$的根.

答案： 【解析】：
本题主要考查了分式的化简求值以及一元二次方程的解法。
首先，我们需要对给定的分式进行化简。化简的过程中，需要注意运算的优先级和分式的运算法则。
然后，我们需要求解一元二次方程$x^{2} - 2x - 3 = 0$，找出$x$的值。这个方程可以通过因式分解或者使用求根公式来求解。
最后，我们将求得的$x$的值代入化简后的分式中，求出最终的结果。
【答案】：
解：
原式
$= \left( \frac{1}{x + 1} + x - 1 \right) ÷ \frac{x^{2}}{x^{2} + 2x + 1}$
首先，对括号内的分式进行通分：
$= \left( \frac{1}{x + 1} + \frac{x^{2} - 1}{x + 1} \right) ÷ \frac{x^{2}}{(x + 1)^{2}}$
然后，进行化简：
$= \frac{x^{2}}{x + 1} ÷ \frac{x^{2}}{(x + 1)^{2}}$
$= \frac{x^{2}}{x + 1} \cdot \frac{(x + 1)^{2}}{x^{2}}$
$= x + 1$
接下来，解方程$x^{2} - 2x - 3 = 0$：
$(x - 3)(x + 1) = 0$
解得：$x_{1} = 3$，$x_{2} = -1$
由于$x + 1 \neq 0$，所以$x \neq -1$，因此$x = 3$。
最后，将$x = 3$代入化简后的式子$x + 1$中：
$x + 1 = 3 + 1 = 4$
故答案为：4。