《2025年通成学典课时作业本九年级数学上册苏科版宿迁专版》

11. 用适当的方法解下列方程：
(1) $\frac{1}{2}x(x + 2) = \frac{3}{4} - \frac{1}{2}x$；
(2) $(5x - 1)(2x + 4) = 3x + 6$；
(3) $4(2x - 1)^2 - 9(x + 1)^2 = 0$；
(4) $4(t - 5)^2 + 4(5 - t) + 1 = 0$。

答案： （1）$x_{1}=\frac{-3+\sqrt{15}}{2}$，$x_{2}=\frac{-3-\sqrt{15}}{2}$ （2）$x_{1}=-2$，$x_{2}=\frac{1}{2}$ （3）$x_{1}=5$，$x_{2}=-\frac{1}{7}$ （4）$t_{1}=t_{2}=\frac{11}{2}$

12. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $mx^2 - (3m - 1)x + 2m - 1 = 0$ 的根的判别式的值为 1,求 $m$ 的值及该方程的根。

答案： 根据题意，得$m\neq0$，且$b^{2}-4ac=[-(3m-1)]^{2}-$$4m(2m-1)=m^{2}-2m+1=1$，解得$m_{1}=0$（不合题意，舍去），$m_{2}=2$.$\therefore m=2$，$\therefore$原方程为$2x^{2}-5x+3=0$，解得$x_{1}=\frac{3}{2}$，$x_{2}=1$

13. (2024·宿城段考)已知 $\triangle ABC$ 的一条边 $BC$ 的长为 5,另两边 $AB$、$AC$ 的长是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2 - (2k + 3)x + k^2 + 3k + 2 = 0$ 的两个实数根。
(1) 若 $\triangle ABC$ 是等腰三角形。
① 求 $k$ 的值；3或4
② $\triangle ABC$ 的周长为______。14或16
(2) 若 $\triangle ABC$ 是以 $BC$ 为斜边的直角三角形,求 $k$ 的值。2

答案： （1）①$\because b^{2}-4ac=[-(2k+3)]^{2}-4×1×(k^{2}+$$3k+2)=1＞0$，$\therefore$方程总有两个不相等的实数根.若$AB=BC=5$，把$x=5$代入$x^{2}-(2k+3)x+k^{2}+3k+2=0$，得$5^{2}-(2k+3)×5+k^{2}+3k+2=0$，解得$k=3$或$k=4$.$\because$无论$k$为何值，$b^{2}-4ac＞0$，$\therefore AB\neq AC$，$\therefore k$的值为3或4 ②14或16 （2）$\because x^{2}-$$(2k+3)x+k^{2}+3k+2=0$，$\therefore [x-(k+1)][x-(k+$$2)]=0$，$\therefore x_{1}=k+1$，$x_{2}=k+2$，$\therefore AB+AC=k+1+k+$$2=2k+3$，$AB\cdot AC=(k+1)(k+2)=k^{2}+3k+2$，$\therefore$$AB^{2}+AC^{2}=(AB+AC)^{2}-2AB\cdot AC=25$，即$(2k+$$3)^{2}-2(k^{2}+3k+2)=25$，解得$k=2$或$k=-5$.根据三角形的边长一定为正数，得$\left\{\begin{array}{l} k+1＞0,\\ k+2＞0.\end{array}\right.$$\therefore k＞-1$.$\therefore k=2$