《2025年通成学典课时作业本九年级数学上册苏科版宿迁专版》

10. 用配方法解下列方程：
(1)$\frac {1}{3}x^{2}+\frac {1}{3}x-\frac {1}{6}= 0$；
(2)$3x^{2}= 2x+5$；
(3)$-2y^{2}+2\sqrt {2}y+1= 0$；
(4)$(2x+3)(x-6)= 16$.

答案： $(1)$ 解方程$\frac{1}{3}x^{2}+\frac{1}{3}x - \frac{1}{6}=0$
解：
方程两边同时乘以$6$得$2x^{2}+2x - 1 = 0$。
二次项系数化为$1$：$x^{2}+x-\frac{1}{2}=0$。
配方：$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$，即$(x + \frac{1}{2})^{2}=\frac{3}{4}$。
开方得$x+\frac{1}{2}=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}$。
解得$x_{1}=\frac{-1 + \sqrt{3}}{2}$，$x_{2}=\frac{-1 - \sqrt{3}}{2}$。
$(2)$ 解方程$3x^{2}=2x + 5$
解：
移项得$3x^{2}-2x - 5 = 0$。
二次项系数化为$1$：$x^{2}-\frac{2}{3}x-\frac{5}{3}=0$。
配方：$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{5}{3}+\frac{1}{9}$，即$(x-\frac{1}{3})^{2}=\frac{16}{9}$。
开方得$x - \frac{1}{3}=\pm\frac{4}{3}$。
解得$x_{1}=\frac{5}{3}$，$x_{2}=-1$。
$(3)$ 解方程$-2y^{2}+2\sqrt{2}y + 1 = 0$
解：
二次项系数化为$1$：$y^{2}-\sqrt{2}y-\frac{1}{2}=0$。
配方：$y^{2}-\sqrt{2}y+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$，即$(y-\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}=1$。
开方得$y-\frac{\sqrt{2}}{2}=\pm1$。
解得$y_{1}=\frac{\sqrt{2}}{2}+1$，$y_{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}-1$。
$(4)$ 解方程$(2x + 3)(x - 6)=16$
解：
展开括号得$2x^{2}-12x+3x - 18 = 16$，即$2x^{2}-9x - 34 = 0$。
二次项系数化为$1$：$x^{2}-\frac{9}{2}x - 17 = 0$。
配方：$x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=17+\frac{81}{16}$，即$(x-\frac{9}{4})^{2}=\frac{353}{16}$。
开方得$x-\frac{9}{4}=\pm\frac{\sqrt{353}}{4}$。
解得$x_{1}=\frac{9 + \sqrt{353}}{4}$，$x_{2}=\frac{9 - \sqrt{353}}{4}$。
综上，答案依次为：$(1)$$x_{1}=\frac{-1 + \sqrt{3}}{2}$，$x_{2}=\frac{-1 - \sqrt{3}}{2}$；$(2)$$x_{1}=\frac{5}{3}$，$x_{2}=-1$；$(3)$$y_{1}=\frac{\sqrt{2}}{2}+1$，$y_{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}-1$；$(4)$$x_{1}=\frac{9 + \sqrt{353}}{4}$，$x_{2}=\frac{9 - \sqrt{353}}{4}$。

11. 当x满足不等式组$\left\{\begin{array}{l} x+1＜3x-3,\\ \frac {1}{2}(x-4)＜\frac {1}{3}(x-4)\end{array} \right. $时,求方程$2x^{2}-3x-5= 0$的根.

答案： 解不等式组 $\left\{\begin{array}{l} x+1＜3x-3,\\ \frac{1}{2}(x-4)＜\frac{1}{3}(x-4)\end{array}\right.$ 得 $2＜x＜4$.解方程 $2x^{2}-3x-5=0$,得 $x_{1}=-1$,$x_{2}=\frac{5}{2}$. $\because 2＜x＜4$,$\therefore$ 满足条件的方程的根为 $x=\frac{5}{2}$

12. 我们定义一种新的运算“$\otimes$”：对于两个数进行“$\otimes$”运算时,同号相乘,异号相除,0与任何数进行“$\otimes$”运算,结果为0.例如：$(+5)\otimes (+4)= +20,(+6)\otimes (-3)= -2,(+7)\otimes 0= 0$.
(1)$(-5)\otimes [3\otimes (-10)]=$$\frac{3}{2}$.
(2)对于任意有理数a、b,计算：$(a^{2}+2)\otimes b^{2}$.$\because a^{2}+2＞0$,$b^{2}\geq 0$,$\therefore$ 当 $b=0$ 时,$(a^{2}+2)\otimes b^{2}=0$;当 $b\neq 0$ 时,$(a^{2}+2)\otimes b^{2}=b^{2}(a^{2}+2)=a^{2}b^{2}+2b^{2}$
(3)①比较大小：$2x^{2}-4x+3$＞0(填“＞”或“＜”)；
②若$x＞0$,且$(2x^{3}-4x^{2}+4x)\otimes (-2x)= -1$,求$(2x^{2}-4x+3)\otimes (x+1)+(x^{2}+7x)\otimes (-x)$的值.$\because x＞0$,$\therefore 2x^{3}-4x^{2}+4x=2x(x^{2}-2x+2)=2x[(x-1)^{2}+1]＞0$,$-2x＜0$,$\therefore (2x^{3}-4x^{2}+4x)\otimes (-2x)=\frac{2x(x^{2}-2x+2)}{-2x}=-1$,$\therefore x^{2}-2x+2=1$,$\therefore x_{1}=x_{2}=1$,$\therefore (2x^{2}-4x+3)\otimes (x+1)+(x^{2}+7x)\otimes (-x)=1\otimes 2+8\otimes (-1)=2-8=-6$

答案：
(1) $\frac{3}{2}$
(2) $\because a^{2}+2＞0$,$b^{2}\geq 0$,$\therefore$ 当 $b=0$ 时,$(a^{2}+2)\otimes b^{2}=0$;当 $b\neq 0$ 时,$(a^{2}+2)\otimes b^{2}=b^{2}(a^{2}+2)=a^{2}b^{2}+2b^{2}$
(3) ① ＞ ② $\because x＞0$,$\therefore 2x^{3}-4x^{2}+4x=2x(x^{2}-2x+2)=2x[(x-1)^{2}+1]＞0$,$-2x＜0$,$\therefore (2x^{3}-4x^{2}+4x)\otimes (-2x)=\frac{2x(x^{2}-2x+2)}{-2x}=-1$,$\therefore x^{2}-2x+2=1$,$\therefore x_{1}=x_{2}=1$,$\therefore (2x^{2}-4x+3)\otimes (x+1)+(x^{2}+7x)\otimes (-x)=1\otimes 2+8\otimes (-1)=2-8=-6$