《2025年通成学典课时作业本九年级数学上册苏科版宿迁专版》

7. 将一个容积为$360cm^{3}$的长方体包装盒剪开铺平,纸样如图所示。利用容积列出图中$x$(cm)满足的一元二次方程为$15x×\frac{20-2x}{2}=360$(不必化简)。

答案： $15x×\frac{20-2x}{2}=360$

8. (2024·宿城期中)如图,在$Rt\triangle ABC$中,$∠B = 90^{\circ}$,$AC = 10$cm,$BC = 6$cm,现有两个动点$P$、$Q分别从点A和点B$同时出发,其中点$P$以2cm/s的速度沿$AB向终点B$移动；点$Q$以1cm/s的速度沿$BC向终点C$移动,其中一点到终点,另一点也随之停止,连接$PQ$。设动点移动的时间为$x$s。
(1)当$x$为何值时,$\triangle PBQ$为等腰三角形？
(2)是否存在$x$的值,使得四边形$APQC的面积等于20cm^{2}$？若存在,请求出此时$x$的值；若不存在,请说明理由。
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答案： （1）在$\text{Rt}\triangle ABC$中,由勾股定理,得$AB=\sqrt{AC^{2}-BC^{2}}=\sqrt{10^{2}-6^{2}}=8(cm)$.若$\triangle PBQ$为等腰三角形,则$PB=BQ$,$\therefore8-2x=x$,解得$x=\frac{8}{3}$.$\therefore$ 当$x=\frac{8}{3}$时,$\triangle PBQ$为等腰三角形 （2）存在 假设存在$x$的值,使得四边形 APQC 的面积等于$20cm^{2}$,则$\frac{1}{2}×6×8-\frac{1}{2}x(8-2x)=20$,解得$x_{1}=x_{2}=2$,假设成立.$\therefore$ 当$x=2$时,四边形 APQC 的面积等于$20cm^{2}$

9. 如图,在四边形$ABCD$中,$AB// CD$,$∠C = 90^{\circ}$,$AB = 6$cm,$CD = 10$cm,$AD = 5$cm,动点$P$、$Q分别从点A$、$C$同时出发,点$P$以2cm/s的速度向点$B$运动,点$Q$以1cm/s的速度向点$D$运动,当一个动点到达终点时,另一个动点也立即停止运动,连接$PQ$。
(1)经过几秒,点$P$、$Q$之间的距离为5cm？
(2)连接$PD$,是否存在某一时刻,使得$PD恰好平分∠APQ$？若存在,请求出此时的运动时间；若不存在,请说明理由。
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答案： 设运动时间为$t$s,显然$0\leq t\leq3$.（1）过点 Q 作$QE\perp AB$于点 E,过点 A 作$AF\perp CD$于点 F.$\because AB// CD$,$\angle C=90^{\circ}$,$AF\perp CD$,$QE\perp AB$,$\therefore$ 易得四边形 AFCB 和四边形 AFQE 都为矩形.$\because CD=10cm$,$AB=6cm$,$\therefore CF=6cm$,则$DF=4cm$.$\because AD=5cm$,$\therefore$ 在$\text{Rt}\triangle ADF$中,$AF=\sqrt{AD^{2}-DF^{2}}=3cm$,$\therefore EQ=AF=3cm$.$\because AP=2t\ cm$,$CQ=t\ cm$,$\therefore$ 易得$PE=(6-3t)cm$或$PE=(3t-6)cm$.在$\text{Rt}\triangle PEQ$中,$\because PE^{2}+EQ^{2}=PQ^{2}$,$\therefore(6-3t)^{2}+3^{2}=5^{2}$,解得$t_{1}=\frac{2}{3}$,$t_{2}=\frac{10}{3}$(不合题意,舍去).答:经过$\frac{2}{3}s$,点 P、Q 之间的距离为5cm （2）不存在 理由:假设存在某一时刻,使得 PD 恰好平分$\angle APQ$,则$\angle APD=\angle DPQ$.$\because AB// CD$,$\therefore\angle APD=\angle PDQ$,$\therefore\angle PDQ=\angle DPQ$,$\therefore DQ=PQ$.$\because PQ^{2}=[3^{2}+(6-3t)^{2}]cm^{2}$,$DQ^{2}=(10-t)^{2}cm^{2}$,$\therefore3^{2}+(6-3t)^{2}=(10-t)^{2}$,解得$t_{1}=\frac{4-3\sqrt{14}}{4}$,$t_{2}=\frac{4+3\sqrt{14}}{4}$.$\because0\leq t\leq3$,$\therefore$ 上述两解均不合题意,舍去.$\therefore$ 不存在某一时刻,使得 PD 恰好平分$\angle APQ$.