《2025年通成学典课时作业本九年级数学上册苏科版宿迁专版》

8. 如图,在等腰直角三角形 ABC 中,$AB= AC= 2$,D 是边 AC 上的一个动点,连接 BD,以 AD 为直径的圆交 BD 于点 E,则 CE 长的最小值为______$\sqrt{5}-1$。

答案： $\sqrt{5}$ - 1 解析:连接AE.由AD为某圆的直径,得∠AED = 90°,则∠AEB = 90°,此时出现“定边(AB)对直角(∠AEB)”模型,
∴点E始终在以AB为直径的圆上运动.取AB的中点M,连接CM,与圆的交点即为满足题意的点E,此时CE的长取得最小值$\sqrt{5}$ - 1.

9. 如图,在平面直角坐标系中,点$A(0,1)$、$B(0,1+t)$、$C(0,1-t)(t＞0)$,点 P 在以点$D(4,4)$为圆心、1 为半径的圆上运动,且始终满足$∠BPC= 90^{\circ }$,则 t 的最小值为4,t 的最大值为6。

答案： 4 6

10. 如图,以点$G(0,1)$为圆心、2 为半径的圆与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于 C、D 两点,E 为$\odot G$上一动点,$CF⊥AE$于 F。当点 E 从点 B 出发按顺时针方向运动到点 D 时,求点 F 所经过的路径长。

答案：
如图,连接AC.
∵CF⊥AE,
∴∠AFC = 90°,
∴图中出现了“定边(AC)对直角(∠AFC)”模型,
∴点F的运动路径为以AC为直径的半圆.当点E运动到点B时,CO⊥AE,此时点F与点O重合;当点E运动到点D时,CA⊥AE,此时点F与点A重合,
∴当点E从点B出发按顺时针方向运动到点D时,点F所经过的路径长是$\overset{\frown}{AO}$的长.连接AG.
∵点G的坐标为(0,1),
∴OG = 1.
∵AG = CG = 2,
∴在Rt△AOG中,AO = $\sqrt{AG^{2}-OG^{2}}$ = $\sqrt{2^{2}-1^{2}}$ = $\sqrt{3}$.
∴在Rt△AOC中,AC = $\sqrt{AO^{2}+OC^{2}}$ = $\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+(2 + 1)^{2}}$ = 2$\sqrt{3}$.取AC的中点H,连接OH,则在Rt△AOC中,OH = $\frac{1}{2}$AC = $\sqrt{3}$.
∴AH = OH = AO = $\sqrt{3}$,即△AHO为等边三角形,
∴∠AHO = 60°,
∴$\overset{\frown}{AO}$的长为$\frac{60\pi×\sqrt{3}}{180}$ = $\frac{\sqrt{3}\pi}{3}$,
∴当点E从点B出发按顺时针方向运动到点D时,点F所经过的路径长为$\frac{\sqrt{3}\pi}{3}$.

11. 如图,B 是线段 AC 的中点,过点 C 的直线 l 与 AC 成$60^{\circ }$的角,在直线 l 上取一点 P,使得$∠APB= 30^{\circ }$,则满足条件的点 P 的个数是(B)

A.3
B.2
C.1
D.0

答案： B 解析:先以AB为边作等边三角形ABO,再以点O为圆心,AB为半径构造⊙O,观察该圆与直线l的交点个数.

12. 如图,在等边三角形 ABC 中,$AB= 6$,点 D、E 分别在边 BC、AC 上,且$BD= CE$,连接 AD、BE 交于点 F,连接 CF,求 CF 长的最小值。

答案：

∵△ABC是等边三角形,AB = 6,
∴AB = BC = AC = 6,∠ABD = ∠BCE = 60°.在△ABD和△BCE中,$\begin{cases}AB = BC\\\angle ABD = \angle BCE\\BD = CE\end{cases}$,
∴△ABD≌△BCE,
∴∠BAD = ∠CBE.
∵∠AFB是△BDF的一个外角,
∴∠AFB = ∠CBE + ∠ADB = ∠BAD + ∠ADB.
∵在△ABD中,∠BAD + ∠ADB = 180° - ∠ABD = 120°,
∴∠AFB = 120°,
∴点F的运动路径是以点O为圆心的如图所示的$\overset{\frown}{AB}$,且∠AOB = 2(180° - ∠AFB) = 120°.连接OA、OB、OC、OF.
∵OA = OB,AC = BC,OC = OC,
∴△AOC≌△BOC,
∴∠OAC = ∠OBC,∠ACO = ∠BCO = 30°.
∵四边形OBCA的内角和为360°,∠AOB + ∠ACB = 120° + 60° = 180°,
∴∠OBC = 90°,
∴在Rt△OBC中,易得OB = $\frac{1}{2}$OC.由勾股定理,得$OB^{2}+BC^{2}=OC^{2}$,即$OB^{2}+6^{2}=(2OB)^{2}$.
∴OB = 2$\sqrt{3}$,此时OF = OB = 2$\sqrt{3}$,OC = 2OB = 4$\sqrt{3}$.
∵点F在$\overset{\frown}{AB}$上运动,总有CF≥OC - OF,即CF≥2$\sqrt{3}$,
∴当O、F、C三点共线时,CF的长取得最小值,为2$\sqrt{3}$.