《2025年通成学典课时作业本九年级数学上册苏科版宿迁专版》

1. (2024·沭阳段考)用配方法解方程$x^{2}-6x+1= 0$,配方后得到的方程是 (A)
A.$(x-3)^{2}= 8$
B.$(x-3)^{2}= -8$
C.$(x-3)^{2}= 9$
D.$(x-3)^{2}= -9$

答案： A

2. 一元二次方程$y^{2}-y-\frac {3}{4}= 0$配方后可化为 (B)
A.$(y+\frac {1}{2})^{2}= 1$
B.$(y-\frac {1}{2})^{2}= 1$
C.$(y+\frac {1}{2})^{2}= \frac {3}{4}$
D.$(y-\frac {1}{2})^{2}= \frac {3}{4}$

答案： B

3. 若将关于x的一元二次方程$x^{2}+16x+c= 0$配方后得到方程$(x+8)^{2}= 3c$,则c的值为______16.

答案： 16 解析:将方程$x^{2}+16x+c=0$配方,得$(x+8)^{2}=-c+64$.
∵$(x+8)^{2}=3c$,
∴$3c=-c+64$,解得$c=16$.

4. 若$x= 0$是关于x的方程$(m-3)x^{2}+3x+m^{2}+2m-15= 0$的一个根,则m的值为3或-5.

答案： 3或-5 解析:将$x=0$代入方程,得$m^{2}+2m-15=0$,解得$m_{1}=-5$,$m_{2}=3$.

5. 用配方法解下列方程:
(1) (2023·广州)$x^{2}-6x+5= 0;$
(2) (2024·徐州)$x^{2}+2x-1= 0;$
(3)$x^{2}+\frac {10}{3}x+1= 0;$
(4)$x^{2}+\frac {1}{2}= \frac {3}{2}x.$

答案： 1. （1）解：
对于方程$x^{2}-6x + 5 = 0$，
移项得$x^{2}-6x=-5$。
配方：在等式两边加上一次项系数一半的平方，一次项系数$a=-6$，$(\frac{-6}{2})^{2}=9$，则$x^{2}-6x + 9=-5 + 9$。
即$(x - 3)^{2}=4$。
开方得$x−3=\pm2$。
当$x−3 = 2$时，$x=2 + 3=5$；当$x−3=-2$时，$x=-2 + 3 = 1$。
所以$x_{1}=5$，$x_{2}=1$。
2. （2）解：
对于方程$x^{2}+2x-1 = 0$，
移项得$x^{2}+2x = 1$。
配方：一次项系数$a = 2$，$(\frac{2}{2})^{2}=1$，则$x^{2}+2x + 1=1 + 1$。
即$(x + 1)^{2}=2$。
开方得$x + 1=\pm\sqrt{2}$。
当$x + 1=\sqrt{2}$时，$x=\sqrt{2}-1$；当$x + 1=-\sqrt{2}$时，$x=-\sqrt{2}-1$。
所以$x_{1}=\sqrt{2}-1$，$x_{2}=-\sqrt{2}-1$。
3. （3）解：
对于方程$x^{2}+\frac{10}{3}x + 1 = 0$，
移项得$x^{2}+\frac{10}{3}x=-1$。
配方：一次项系数$a=\frac{10}{3}$，$(\frac{\frac{10}{3}}{2})^{2}=(\frac{5}{3})^{2}=\frac{25}{9}$，则$x^{2}+\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=-1+\frac{25}{9}$。
即$(x+\frac{5}{3})^{2}=\frac{16}{9}$。
开方得$x+\frac{5}{3}=\pm\frac{4}{3}$。
当$x+\frac{5}{3}=\frac{4}{3}$时，$x=\frac{4}{3}-\frac{5}{3}=-\frac{1}{3}$；当$x+\frac{5}{3}=-\frac{4}{3}$时，$x=-\frac{4}{3}-\frac{5}{3}=-3$。
所以$x_{1}=-\frac{1}{3}$，$x_{2}=-3$。
4. （4）解：
对于方程$x^{2}+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}x$，
移项得$x^{2}-\frac{3}{2}x=-\frac{1}{2}$。
配方：一次项系数$a=-\frac{3}{2}$，$(\frac{-\frac{3}{2}}{2})^{2}=(\frac{3}{4})^{2}=\frac{9}{16}$，则$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-\frac{1}{2}+\frac{9}{16}$。
即$(x-\frac{3}{4})^{2}=\frac{1}{16}$。
开方得$x-\frac{3}{4}=\pm\frac{1}{16}$。
当$x-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$时，$x=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1$；当$x-\frac{3}{4}=-\frac{1}{4}$时，$x=-\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=\frac{1}{2}$。
所以$x_{1}=1$，$x_{2}=\frac{1}{2}$。

6. (2024·沭阳段考)用配方法解一元二次方程$x^{2}-2x-2024= 0$,将它转化为$(x+a)^{2}= b$的形式,则b的值是 (B)
A.2024
B.2025
C.1
D.2

答案： 【解析】：
本题主要考察用配方法解一元二次方程，特别是将方程转化为$(x+a)^{2}= b$的形式。
配方法的一般步骤是：
1. 将常数项移到等式右边。
2. 在等式两边同时加上一次项系数的一半的平方。
3. 将等式左边写成完全平方的形式。
对于给定的方程$x^{2}-2x-2024= 0$，
首先，将常数项移到等式右边，得到：
$x^{2}-2x = 2024$，
接下来，为了配方，需要找到一次项系数的一半，即$-2 ÷ 2 = -1$，然后求其平方，即$(-1)^{2} = 1$。
在等式两边同时加上这个平方数1，得到：
$x^{2}-2x + 1 = 2024 + 1$，
现在，可以将等式左边写成完全平方的形式，即：
$(x-1)^{2} = 2025$，
与题目要求的$(x+a)^{2}= b$形式对比，可以得到$a = -1$，$b = 2025$。
【答案】：
B. $2025$。

7. 若代数式$x^{2}+(k^{2}-1)x+9$是完全平方式,则实数k的值为$\pm\sqrt{7}$.

答案： 解：因为代数式$x^{2}+(k^{2}-1)x + 9$是完全平方式，且二次项系数为1，常数项$9 = 3^{2}$或$9=(-3)^{2}$，所以该代数式可表示为$(x\pm3)^{2}$。
展开$(x + 3)^{2}=x^{2}+6x + 9$，对比可得$k^{2}-1=6$，解得$k^{2}=7$，$k=\pm\sqrt{7}$；
展开$(x - 3)^{2}=x^{2}-6x + 9$，对比可得$k^{2}-1=-6$，解得$k^{2}=-5$，此方程无实数解。
综上，实数$k$的值为$\pm\sqrt{7}$。
答案：$\pm\sqrt{7}$

8. 将代数式$x^{2}+6x+7$进行如下变形:$x^{2}+6x+7= x^{2}+2\cdot x\cdot 3+9-9+7= (x+3)^{2}-2$.当x的值为-3时,$(x+3)^{2}$取得最小值,最小值为0,即$(x+3)^{2}-2$的最小值为-2,从而代数式$x^{2}+6x+7$的最小值为-2.

答案： 解：因为$(x + 3)^2$是一个平方数，平方数具有非负性，即$(x + 3)^2 \geq 0$，当且仅当$x + 3 = 0$时，等号成立，此时$(x + 3)^2$取得最小值$0$。
由$x + 3 = 0$，解得$x = -3$。
所以当$x$的值为$-3$时，$(x + 3)^2$取得最小值，最小值为$0$，则$(x + 3)^2 - 2$的最小值为$0 - 2 = -2$，从而代数式$x^2 + 6x + 7$的最小值为$-2$。
$-3$；$-2$