《2025年通成学典课时作业本九年级数学上册苏科版宿迁专版》

7. 如图,在$Rt△ABC$中,$∠ACB= 90^{\circ }$,CD是斜边AB上的中线,以CD为直径的$\odot O$分别交AC、BC于点M、N,过点N作$NE⊥AB$,垂足为E,则NE与$\odot O$的位置关系是(B)

A.相交
B.相切
C.相离
D.相切或相交
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答案： B

8. (新考法·条件开放题)如图,CD是$\odot O$的直径,BD是$\odot O$的弦,延长DC到点A,使$∠ABD= 120^{\circ }$,连接BC.有下列条件：①$AC= BC$；②$AC= OC$；③$OC= BC$；④$AB= BD$.从中添加一个条件,能使AB是$\odot O$的切线的为______(填序号).
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①②③④

答案： 1. 首先连接$OB$：
因为$OB = OD$，所以$\angle OBD=\angle D$。
已知$\angle ABD = 120^{\circ}$，则$\angle ABC+\angle OBD = 120^{\circ}$，$\angle A+\angle D=60^{\circ}$。
2. 然后分析条件①：
若$AC = BC$，则$\angle A=\angle ABC$。
又因为$\angle A+\angle D = 60^{\circ}$，$\angle OBD=\angle D$，$\angle ABC+\angle OBD = 120^{\circ}$，$\angle A+\angle D = 60^{\circ}$，$\angle A=\angle ABC$，$\angle OBD=\angle D$，所以$\angle A=\angle ABC = 30^{\circ}$，$\angle D=\angle OBD = 30^{\circ}$。
则$\angle OBA=\angle ABD-\angle OBD=120^{\circ}-30^{\circ}=90^{\circ}$，$OB\perp AB$，$AB$是$\odot O$的切线。
3. 接着分析条件②：
若$AC = OC$，因为$OB = OC$，所以$AC = OC = OB$。
设$\angle A=x$，则$\angle ABC=x$（$AC = BC$，三角形外角$\angle BCO=\angle A+\angle ABC = 2x$，又$OB = OC$，所以$\angle OBC=\angle BCO = 2x$）。
由$\angle ABD=\angle A+\angle ADB = 120^{\circ}$，$\angle ADB=\angle OBD$（$OB = OD$），$\angle ABD=\angle A+\angle OBD = 120^{\circ}$，且$\angle OBA=\angle ABC+\angle OBC$，$\angle A+\angle ADB = 60^{\circ}$（三角形内角和$\angle A+\angle ABD+\angle ADB = 180^{\circ}$），$\angle ADB=\angle OBD$，$\angle A+\angle OBD = 60^{\circ}$，$\angle ABC=\angle A$，$\angle OBC=\angle BCO = 2\angle A$，$\angle OBA=\angle A + 2\angle A$，$\angle A+\angle OBD = 60^{\circ}$，$\angle OBD=\angle ADB$，$\angle A+\angle ADB = 60^{\circ}$，$\angle ABD=\angle A+\angle ADB+\angle OBA=120^{\circ}$，可得$\angle OBA = 90^{\circ}$，$OB\perp AB$，$AB$是$\odot O$的切线。
4. 再分析条件③：
若$OC = BC$，因为$OB = OC$，所以$OB = OC = BC$，$\triangle OBC$是等边三角形，$\angle BCO = 60^{\circ}$。
则$\angle A=\angle ABC = 30^{\circ}$（$\angle BCO=\angle A+\angle ABC$），$\angle OBD=\angle D = 30^{\circ}$（$OB = OD$）。
所以$\angle OBA=\angle ABD-\angle OBD=120^{\circ}-30^{\circ}=90^{\circ}$，$OB\perp AB$，$AB$是$\odot O$的切线。
5. 最后分析条件④：
若$AB = BD$，则$\angle A=\angle ADB$。
因为$\angle A+\angle ADB = 60^{\circ}$（$\angle ABD = 120^{\circ}$，三角形内角和$\angle A+\angle ABD+\angle ADB = 180^{\circ}$），所以$\angle A=\angle ADB = 30^{\circ}$，$\angle OBD=\angle ADB = 30^{\circ}$。
则$\angle OBA=\angle ABD-\angle OBD=120^{\circ}-30^{\circ}=90^{\circ}$，$OB\perp AB$，$AB$是$\odot O$的切线。
故答案为：①②③④。

9. (2024·武汉改编)如图,$△ABC$为等腰三角形,O是底边BC的中点,腰AC与半圆O相切于点D,底边BC与半圆O交于E、F两点.
(1)求证：AB与半圆O相切；
(2)若$CD= 4,CF= 2$,求EF的长.
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答案：

(1) 如图,连接 OD、OA,过点 O 作 OH⊥AB 于点 H.
∵ △ABC 为等腰三角形,O 是底边 BC 的中点,
∴ AO⊥BC,AO 平分∠BAC.
∵ AC 与半圆 O 相切于点 D,
∴ OD⊥AC.
∵ OH⊥AB,
∴ OH = OD,
∴ AB 与半圆 O 相切
(2) 设半圆 O 的半径为 r,则 OD = OF = r,OC = r + 2.由
(1)知,OD⊥AC,
∴ 在 Rt△OCD 中,由勾股定理,得 OD² + CD² = OC²,即 r² + 4² = (r + 2)²,解得 r = 3.
∴ EF = 2r = 6

10. 如图,四边形ABCD是正方形,点A、B在$\odot O$上,边DA的延长线交$\odot O$于点E,对角线DB的延长线交$\odot O$于点F,连接EF并延长至点G,使$∠FBG= ∠FAB$.
(1)求证：BG与$\odot O$相切；
(2)若$\odot O$的半径为1,求AF的长.
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答案：

(1) 如图,连接 BE.
∵ 四边形 ABCD 是正方形,
∴ ∠BAD = ∠ADC = 90°.
∵ ∠BAD + ∠BAE = 180°,
∴ ∠BAE = 90°,
∴ BE 是⊙O 的直径,∠FAB + ∠EAF = 90°.
∵ ∠FBG = ∠FAB,
∴ ∠FBG + ∠EAF = 90°.
∵ $\overset{\frown}{EF}=\overset{\frown}{EF}$,
∴ ∠EAF = ∠EBF,
∴ ∠FBG + ∠EBF = 90°,
∴ ∠OBG = 90°,即 OB⊥BG.又
∵ OB 是⊙O 的半径,
∴ BG 与⊙O 相切
(2) 如图,连接 OA、OF.
∵ DB 是正方形 ABCD 的对角线,
∴ ∠FDE = $\frac{1}{2}$∠ADC = 45°.
∵ BE 是⊙O 的直径,
∴ ∠EFB = 90°.
∵ △EFD 的内角和为 180°,
∴ ∠FED = 45°.
∵ $\overset{\frown}{AF}=\overset{\frown}{AF}$,
∴ ∠AOF = 2∠FED = 90°.
∵ OA = OF = 1,
∴ AF = $\sqrt{OA^2 + OF^2}=\sqrt{2}$