《2025年通成学典课时作业本九年级数学上册苏科版宿迁专版》

9. 如图,$AB和DE是\odot O$的直径,弦$AC// DE$. 若弦$BE = 3$,则弦$CE$的长为______3.

答案： 解：连接OC。
∵AC//DE，
∴∠A=∠DOB，∠ACO=∠COE。
∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∴∠DOB=∠COE。
∵AB、DE是直径，
∴∠AOD=∠BOE（对顶角相等），
∴∠AOD+∠DOB=∠BOE+∠COE，即∠AOB=∠COE+∠BOE=∠BOC。
又
∵∠AOB=180°，
∴∠BOC=180°，即点C、O、B共线（此步可简化为：由∠DOB=∠COE，得弧BD=弧CE）。
∵OB=OE，
∴△BOE是等腰三角形，
又
∵AB是直径，
∴∠AOE=∠AOD+∠DOE=∠BOE+∠DOE=∠BOD+∠DOE=∠BOE+∠DOE（等量代换），
由AC//DE得∠A=∠DOB，∠AOC=∠DOE，
∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO=∠COE，
∴∠COE=∠DOB，故弧CE=弧BD。
∵AB、DE是直径，
∴弧AD=弧BE=3（此处应为弦长对应弧等，弦等），
∴弧CE=弧AD=弧BE=3，
∴CE=BE=3。
答案：3

10. 如图,$AB是\odot O$的直径,$C$、$D为半圆O$的三等分点,$CE\perp AB于点E$,连接$AC$、$OD$,则$\angle ACE$的度数为______.
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30°

答案： 解：连接OC。
∵AB是⊙O的直径，C、D为半圆O的三等分点，
∴∠AOC=∠COD=∠DOB=60°。
∵OA=OC，
∴△AOC是等边三角形，∠OAC=60°。
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴∠ACE=90°-∠OAC=30°。
30°

11. 如图,$AB是\odot O$的直径,弦$CD交AB于点M$,且$OM = CM$. 若$\overset{\frown}{AD}= x\overset{\frown}{BC}$,则$x$的值为______3.

答案： 解：连接OC，OD。
设∠COM=α，
∵OM=CM，
∴∠OCM=∠COM=α，
∴∠OMC=180°-α-α=180°-2α。
∵∠OMC=∠DMB，
∴∠DMB=180°-2α。
设∠DOB=β，OB=OD，
∴∠ODB=∠OBD=(180°-β)/2。
在△DMB中，∠DMB+∠OBD+∠ODB+∠ODM=180°（此处修正：应为∠DMB+∠OBD+∠ODM=180°，∠ODM=∠ODC）
∵OC=OD，
∴∠ODC=∠OCD=α，
∴180°-2α + (180°-β)/2 + α = 180°，
解得β=2α。
∵∠AOD=180°-∠DOB=180°-β=180°-2α，
∠BOC=α，
∴弧AD的度数=∠AOD=180°-2α，
弧BC的度数=∠BOC=α，
又
∵∠AOD + ∠DOC + ∠BOC=180°，∠DOC=180°-2α（三角形内角和），
∴180°-2α + 180°-2α + α=180°，
解得α=36°，
∴弧AD=180°-2×36°=108°，弧BC=36°，
∴x=108°/36°=3。
答案：3

12. 如图,在$\odot O$中,$C是\overset{\frown}{ACB}$的中点,$D$、$E分别是OA$、$OB$上的点,且$AD = BE$,弦$CM$、$CN分别过点D$、$E$. 求证：
(1)$CD = CE$；
(2)$\overset{\frown}{AM}= \overset{\frown}{BN}$.
]

答案：
(1)证明：连接OC。
∵C是$\overset{\frown}{ACB}$的中点，
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，
∴∠AOC=∠BOC。
∵OA=OB，AD=BE，
∴OA-AD=OB-BE，即OD=OE。
在△COD和△COE中，
$\left\{\begin{array}{l} OC=OC \\ ∠COD=∠COE \\ OD=OE\end{array}\right.$
∴△COD≌△COE(SAS)，
∴CD=CE。
(2)证明：由
(1)知△COD≌△COE，
∴∠OCD=∠OCE。
∵OA=OC=OB，
∴∠OAC=∠OCA，∠OBC=∠OCB。
∵∠AOC=∠BOC，OA=OB=OC，
∴∠OAC=∠OBC，∠OCA=∠OCB。
∴∠OCA-∠OCD=∠OCB-∠OCE，即∠ACD=∠BCE。
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l} AC=BC \\ ∠ACD=∠BCE \\ CD=CE\end{array}\right.$
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴∠A=∠B。
∵∠AOC=∠BOC，∠A=∠OAC，∠B=∠OBC，
∴∠AOD=∠BOE，
∴$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BN}$。

13. 如图,$AB$、$DE为\odot O$的直径,$C是\odot O$上一点,且$\overset{\frown}{AD}= \overset{\frown}{CE}$,连接$BE$、$CE$、$AC$、$AD$.
(1)$BE与CE$之间有什么数量关系？为什么？
(2)若$\angle BOE = 60^{\circ}$,则四边形$OACE$是什么特殊四边形？请说明理由.
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答案：
(1)解：BE=CE。
理由：
∵AB、DE为⊙O的直径，
∴∠AOD=∠BOE（对顶角相等）。
∵$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CE}$，
∴∠AOD=∠COE（等弧所对的圆心角相等）。
∴∠BOE=∠COE。
在△BOE和△COE中，
$\left\{\begin{array}{l} OB=OC\\ ∠BOE=∠COE,\\ OE=OE\end{array}\right.$
∴△BOE≌△COE(SAS)。
∴BE=CE。
(2)解：四边形OACE是菱形。
理由：
∵∠BOE=60°，∠BOE=∠COE，
∴∠COE=60°。
∵OE=OC，
∴△OCE是等边三角形。
∴CE=OC=OE。
∵∠AOD=∠BOE=60°，OA=OD，
∴△AOD是等边三角形。
∴∠OAD=60°，AD=OA=OD。
∵$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CE}$，
∴AD=CE。
∴AD=CE=OA=OC。
∵∠AOC=180°-∠COE=180°-60°=120°，OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=30°。
∴∠OAD+∠OAC=60°+30°=90°。
∵∠AOE=∠AOC+∠COE=120°+60°=180°，
∴点A、O、E在同一条直线上。
∴AE是⊙O的直径。
∴∠ACE=90°。
∴∠ACE=∠OAD=90°。
∴AD$//$CE。
∴四边形OACE是平行四边形。
∵OA=OC，
∴平行四边形OACE是菱形。