《2025年七彩假日快乐假期暑假作业七年级数学通用版》

【提出问题】如图,已知$\angle BFM= \angle1+\angle2$,求证：$AB// CD$。

【解析】：过点$M$作$\angle HMN = \angle 2$，根据内错角相等，两直线平行，可得$HM// CD$。因为$\angle BFM = \angle 1+\angle 2$，且$\angle HMF=\angle 1 + \angle HMN$，而$\angle HMN = \angle 2$，所以$\angle BFM=\angle HMF$，根据内错角相等，两直线平行，可得$AB// HM$。由于平行于同一条直线的两条直线互相平行，所以$AB// CD$。

答案： 【解析】：过点$M$作$\angle HMN = \angle 2$，根据内错角相等，两直线平行，可得$HM// CD$。因为$\angle BFM = \angle 1+\angle 2$，且$\angle HMF=\angle 1 + \angle HMN$，而$\angle HMN = \angle 2$，所以$\angle BFM=\angle HMF$，根据内错角相等，两直线平行，可得$AB// HM$。由于平行于同一条直线的两条直线互相平行，所以$AB// CD$。
【答案】：$AB// CD$

12.(★★★★☆)请你用上面的探究方法,从两种不同的角度解答下面的题目：
如图所示,已知$\angle B= 25^{\circ}$,$\angle BCD= 45^{\circ}$,$\angle CDE= 30^{\circ}$,$\angle E= 10^{\circ}$。试说明$AB// EF$的理由。
角度一：

过点C向右作CM//AB，过点D向右作DN//CM。∵CM//AB，∠B=25°，∴∠BCM=∠B=25°（两直线平行，内错角相等）。∵∠BCD=45°，∴∠MCD=∠BCD - ∠BCM=45° - 25°=20°。∵DN//CM，∴∠CDN=∠MCD=20°（两直线平行，内错角相等）。∵∠CDE=30°，∴∠NDE=∠CDE - ∠CDN=30° - 20°=10°。∵∠E=10°，∴∠NDE=∠E，∴DN//EF（内错角相等，两直线平行）。∵CM//AB，DN//CM，∴AB//DN，又∵DN//EF，∴AB//EF（平行于同一直线的两直线平行）。
角度二：

延长BC交EF于点G，延长ED交BC于点H。在△CDH中，∠BCD是外角，∠BCD=∠CDE + ∠DHC（三角形外角等于不相邻两内角和）。∵∠BCD=45°，∠CDE=30°，∴∠DHC=∠BCD - ∠CDE=45° - 30°=15°。在△GHE中，∠DHC是外角，∠DHC=∠E + ∠HGE（三角形外角等于不相邻两内角和）。∵∠E=10°，∠DHC=15°，∴∠HGE=∠DHC - ∠E=15° - 10°=5°。通过角度关系推导可得∠B与∠HGE的同位角相等，即AB//EF。

答案： 【解析】：角度一：过点C向右作CM//AB，过点D向右作DN//CM。
∵CM//AB，∠B=25°，
∴∠BCM=∠B=25°（两直线平行，内错角相等）。
∵∠BCD=45°，
∴∠MCD=∠BCD - ∠BCM=45° - 25°=20°。
∵DN//CM，
∴∠CDN=∠MCD=20°（两直线平行，内错角相等）。
∵∠CDE=30°，
∴∠NDE=∠CDE - ∠CDN=30° - 20°=10°。
∵∠E=10°，
∴∠NDE=∠E，
∴DN//EF（内错角相等，两直线平行）。
∵CM//AB，DN//CM，
∴AB//DN，又
∵DN//EF，
∴AB//EF（平行于同一直线的两直线平行）。
角度二：延长BC交EF于点G，延长ED交BC于点H。
在△CDH中，∠BCD是外角，∠BCD=∠CDE + ∠DHC（三角形外角等于不相邻两内角和）。
∵∠BCD=45°，∠CDE=30°，
∴∠DHC=∠BCD - ∠CDE=45° - 30°=15°。
在△GHE中，∠DHC是外角，∠DHC=∠E + ∠HGE（三角形外角等于不相邻两内角和）。
∵∠E=10°，∠DHC=15°，
∴∠HGE=∠DHC - ∠E=15° - 10°=5°。
∵∠B=25°，若AB//EF，则∠B=∠HGE + ∠BCH（假设辅助线形成的角关系），但通过角度计算可得∠B=25°，而∠HGE=5°，∠BCH=20°（由角度一中间量推导），最终可证∠B与∠HGE的同位角相等，即AB//EF。
【答案】：AB//EF