《2025年七彩假日快乐假期暑假作业七年级数学通用版》

14. (★★★☆☆)学习完以上内容, 你能将$6.\dot{2}和6.1\dot{2}$化为分数吗? 你能将$\sqrt{2}$化为分数吗? 若不能, 请说明理由.

答案： 解：
$6.\dot{2}=\frac{56}{9}$，$6.1\dot{2}=\frac{551}{90}$；
$\sqrt{2}$不能化为分数，因为$\sqrt{2}$是无限不循环小数。

15. (★★★★☆)先阅读下列材料, 然后回答问题.
大家知道,$\sqrt{2}$是无理数, 是无限不循环小数, 也就是说, 它的小数部分我们不能像一般的小数那样把它完整地写出来, 但我们可以采用其他的方法把它表示出来. 你能表示出$\sqrt{2}$的小数部分吗? 为解答这个问题, 我们可以先探索出$\sqrt{2}$的整数部分, 因为$1 ＜ \sqrt{2} ＜ 2$, 所以$\sqrt{2}$的整数部分为 1, 这样我们就可以表示出$\sqrt{2}的小数部分为\sqrt{2} - 1$了.
问题: 已知$\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$的整数部分为 a, 小数部分为 b, 试求$2022a + 2b - \sqrt{5}$的值.
思路点拨: 先估算出$\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$的整数部分, 再将原数减去整数部分, 即得到其小数部分.

答案： 解：因为$2 ＜ \sqrt{5} ＜ 3$，所以$3 ＜ \sqrt{5} + 1 ＜ 4$，则$\frac{3}{2} ＜ \frac{\sqrt{5} + 1}{2} ＜ 2$，所以$\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$的整数部分$a = 1$。
小数部分$b = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} - a = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} - 1 = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$。
所以$2022a + 2b - \sqrt{5} = 2022×1 + 2×\frac{\sqrt{5} - 1}{2} - \sqrt{5} = 2022 + \sqrt{5} - 1 - \sqrt{5} = 2021$。
答案：2021