《2025年超越训练七年级数学上册人教版四川专版》

23. (8分)观察下列等式.
第1个等式：$ a _ { 1 } = \frac { 1 } { 1 × 3 } = \frac { 1 } { 2 } × \left( 1 - \frac { 1 } { 3 } \right) $；
第2个等式：$ a _ { 2 } = \frac { 1 } { 3 × 5 } = \frac { 1 } { 2 } × \left( \frac { 1 } { 3 } - \frac { 1 } { 5 } \right) $；
第3个等式：$ a _ { 3 } = \frac { 1 } { 5 × 7 } = \frac { 1 } { 2 } × \left( \frac { 1 } { 5 } - \frac { 1 } { 7 } \right) $；
第4个等式：$ a _ { 4 } = \frac { 1 } { 7 × 9 } = \frac { 1 } { 2 } × \left( \frac { 1 } { 7 } - \frac { 1 } { 9 } \right) $；
……
解答下列问题.
(1)按以上规律列出第5个等式：.
(2)求$ a _ { 1 } + a _ { 2 } + a _ { 3 } + a _ { 4 } + \cdots + a _ { 100 } $的值.

答案：
(1) $a_{5}=\frac{1}{9×11}=\frac{1}{2}×\left(\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)$
(2) $a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+\cdots+a_{100}$
$=\frac{1}{2}×\left(1 - \frac{1}{3}\right)+\frac{1}{2}×\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)+\frac{1}{2}×\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{7}\right)+\cdots+\frac{1}{2}×\left(\frac{1}{199}-\frac{1}{201}\right)$
$=\frac{1}{2}×\left[1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots+\frac{1}{199}-\frac{1}{201}\right]$
$=\frac{1}{2}×\left(1-\frac{1}{201}\right)$
$=\frac{1}{2}×\frac{200}{201}$
$=\frac{100}{201}$