《2025年精彩三年就练这一本八年级数学上册浙教版》

23. (10分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB= 90°,AC= 4,BC= 3,将△ABC扩充为等腰三角形ABD,使扩充的部分是以AC为直角边的直角三角形,请用尺规作图画出图形,并直接写出CD的长。

答案：
解：分三种情况：①如图1所示：当AD=AB时，由AC⊥BD，可得CD=BC=3；②如图2所示：当AD=BD时，设CD=x，则AD=x+3，在Rt△ADC中，由勾股定理得，(x+3)²=x²+4²，解得x=$\frac{7}{6}$，所以CD=$\frac{7}{6}$；③如图3所示：当BD=AB时，在Rt△ABC中，AB=$\sqrt{BC^{2}+AC^{2}}$=$\sqrt{3^{2}+4^{2}}$=5，所以BD=5，所以CD=5 - 3=2。综上所述，CD的长为3或$\frac{7}{6}$或2。

24. (12分)如图1,在等腰直角三角形DBC中,∠BDC= 90°,BF平分∠DBC,与CD相交于点F,延长BD到点A,使DA= DF。
(1)求证:△BDF≌△CDA。
(2)如图2,延长BF交AC于点E,求证:CE= 1/2BF。
(3)如图3,在(2)的条件下,H是BC边的中点,连结DH与BE相交于点G。试探索CE,GE,BG之间的数量关系,并证明你的结论。

答案：

(1)证明：在△BDF和△CDA中，因为BD=CD，∠BDF=∠CDA=90°，DF=DA，所以△BDF≌△CDA(SAS)。
(2)证明：由
(1)知△BDF≌△CDA，所以BF=CA，∠DBF=∠ACD。因为BE平分∠ABC，所以∠ABF=∠FBC，所以∠FBC+∠ACD+∠BCD=∠FBC+∠ABF+∠BCD=90°，所以∠BEC=90°，所以BE⊥AC，所以△ABC为等腰三角形，所以BE是AC边上的中线，所以CE=$\frac{1}{2}$AC，所以CE=$\frac{1}{2}$BF。
(3)解：BG²=GE²+CE²。证明：如图，连结GC。因为△BDC是等腰直角三角形，H是BC边的中点，所以DH是线段BC的垂直平分线，所以BG=CG。因为△CEG是直角三角形，所以CG²=GE²+CE²，所以BG²=GE²+CE²。