《2025年精彩三年就练这一本八年级数学上册浙教版》

22. (10分)已知一次函数$y= kx+b的图象经过点(3,-3)$,且与直线$y= 4x-3$的交点在x轴上。
(1)求这个一次函数的表达式。
(2)此函数的图象经过哪几个象限？
(3)此函数的图象与坐标轴围成的三角形面积为______。

答案： 解：
(1)因为一次函数y = kx + b的图象与直线y = 4x - 3的交点在x轴上，所以将y = 0代入y = 4x - 3得，x = $\frac{3}{4}$，即($\frac{3}{4}$,0)，把(3,-3)，($\frac{3}{4}$,0)代入y = kx + b得$\begin{cases}3k + b = -3\frac{3}{4}k + b = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = -\frac{4}{3}\\b = 1\end{cases}$，所以一次函数的表达式为y = -$\frac{4}{3}$x + 1。
(2)因为k = -$\frac{4}{3}$＜0，b = 1＞0，所以一次函数y = kx + b的图象经过第一、二、四象限。
(3)因为直线表达式为y = -$\frac{4}{3}$x + 1，所以直线与y轴的交点为C(0,1)，又直线与x轴的交点为B($\frac{3}{4}$,0)，所以OB = $\frac{3}{4}$，OC = 1，所以S△OBC = $\frac{1}{2}$OB·OC = $\frac{1}{2}$×$\frac{3}{4}$×1 = $\frac{3}{8}$，即直线y = kx + b与坐标轴围成的三角形的面积为$\frac{3}{8}$，故答案为$\frac{3}{8}$。

23. (10分)已知一次函数$y_1= (k+1)x-2k+3$,其中$k\neq-1$。
(1)若点$(-1,2)在y_1$的图象上,则k的值是______。
(2)当$-2\leq x\leq3$时,若函数有最大值9,求$y_1$的函数表达式。
(3)对于一次函数$y_2= m(x-1)+6$,其中$m\neq0$,若对一切实数x,$y_1＜y_2$都成立,求k的取值范围。

答案： 解：
(1)因为点(-1,2)在y₁的图象上，所以-(k + 1)-2k + 3 = 2，解得k = 0。故答案为0。
(2)若k + 1＞0，则k＞-1，当x = 3时，y₁ = 9，把(3,9)代入y₁ = (k + 1)x - 2k + 3，得3(k + 1)-2k + 3 = 9，解得k = 3，此时一次函数表达式为y₁ = 4x - 3；若k + 1＜0，则k＜-1，当x = -2时，y₁ = 9，把(-2,9)代入y₁ = (k + 1)x - 2k + 3，得-2(k + 1)-2k + 3 = 9，解得k = -2，此时一次函数表达式为y₁ = -x + 7。综上，y₁的函数表达式为y₁ = 4x - 3或y₁ = -x + 7。
(3)y₂ = m(x - 1)+6 = mx - m + 6，因为对一切实数x，y₁＜y₂都成立，所以k + 1 = m且-2k + 3＜-m + 6，所以-2k + 3＜-k - 1 + 6，解得k＞-2。又k≠-1，所以k的取值范围是k＞-2且k≠-1。

24. (12分)综合与实践：
【问题背景】沙漏又称“沙钟”,是我国古代一种计量时间的仪器...根据古代的沙漏模型(图1)制作了一套“沙漏计时装置”...

【实验操作】...得到下表：
| 沉淀时间x/h | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 |
| 电子秤读数y/克 | 6 | 18 | 30 | 42 | 54 |
问题1：建立平面直角坐标系,如图2,横轴表示漏沙时间x,纵轴表示精密电子秤的读数y,描出以表中的数据为坐标的各点。

【建立模型】问题2：观察上述各点的分布规律...如果在同一条直线上,请你建立适当的函数模型,并求出函数表达式...
【结论应用】问题3：应用上述发现的规律估算：
(1)若漏沙时间为9小时,精密电子秤的读数为多少？
(2)若本次实验开始记录的时间是上午7:30,当精密电子秤的读数为72克时是几点钟？(时间为24时制)

答案：
解：问题1：如图所示。 问题2：如上图所示，连线可得，这些点在同一条直线上，并且符合一次函数图象。设一次函数表达式为y = kx + b(k≠0)。将点(0,6)，(2,18)代入表达式中可得，$\begin{cases}b = 6\\2k + b = 18\end{cases}$。解得$\begin{cases}k = 6\\b = 6\end{cases}$。所以函数表达式为y = 6x + 6。问题3：
(1)由问题2可知函数表达式为y = 6x + 6。所以当x = 9时，y = 60。所以若漏沙时间为9小时，精密电子秤的读数为60克。
(2)由问题2可知函数表达式为y = 6x + 6。所以当y = 72时，x = 11。因为起始时间是上午7:30，所以经过11小时的漏沙时间为18:30。