《2025年精彩三年就练这一本八年级数学上册浙教版》

22. (10分)如图,有如下四个论断：①AC//DE。②DC//EF。③CD平分∠BCA。④EF平分∠BED。
(1)若选择四个论断中的三个作为条件,余下的一个论断作为结论,构成一个数学命题,其中正确的有哪些？不需说明理由。
(2)请你在上述正确的数学命题中选择一个说明理由。

答案：
解：
(1)如果①②③，那么④；如果①②④，那么③；如果①③④，那么②；如果②③④，那么①。
(2)已知：AC//DE，DC//EF，CD平分∠BCA，求证：EF平分∠BED。证明：因为AC//DE，所以∠BCA=∠BED，即∠1+∠2=∠4+∠3。因为DC//EF，所以∠2=∠3。因为CD平分∠BCA，所以∠1=∠2，所以∠4=∠3，所以EF平分∠BED。

23. (10分)如图,在△ABC中,BD平分∠ABC,CD平分∠ACB,DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F。
(1)若∠ABC= 40°,∠ACB= 70°,求∠BDC的度数。
(2)若DE= 2,BC= 9,求△BCD的面积。

答案： 解：
(1)因为BD平分∠ABC，∠ABC=40°，所以∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$×40°=20°。因为CD平分∠ACB，∠ACB=70°，所以∠DCB=$\frac{1}{2}$∠ACB=$\frac{1}{2}$×70°=35°，所以∠BDC=180°-20°-35°=125°。
(2)因为BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，DE=2，所以DF=DE=2。因为BC=9，所以S△BCD=$\frac{1}{2}$×BC×DF=$\frac{1}{2}$×9×2=9。

24. (12分)【问题背景】
(1)如图1,在△ABC中,∠ABC= ∠ACB,点D,E分别在边AB,AC上,求证：∠ADE+∠AED= 2∠ABC。
【变式迁移】
(2)如图2,在△ABC中,∠ABC= ∠ACB,点D在边AB上,连结CD,点F在CD上,∠ADC= 2∠FBC,判断∠DBF与∠ACD的数量关系,并说明理由。
【拓展迁移】
(3)在(2)的条件下,连结AF,如图3,使∠FAC+∠DBF= 90°,若∠ADC= 60°,求∠AFB的度数。

答案： 解：
(1)证明：因为在△ADE中，∠A+∠ADE+∠AED =180°，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，所以∠ADE+∠AED=∠ABC+∠ACB。因为∠ABC=∠ACB，所以∠ADE+∠AED=2∠ABC。
(2)∠ACD=2∠DBF，理由如下：由
(1)知∠ADC+∠ACD=2∠ABC。又因为∠ABC=∠DBF+∠FBC，所以∠ADC+∠ACD=2∠DBF+2∠FBC。因为∠ADC=2∠FBC，所以∠ACD=2∠DBF。
(3)设∠DBF=α，所以∠ACF=2α。因为∠FAC+∠DBF=90°，所以∠FAC=90°-α。因为∠ADC=60°，所以∠FBC=$\frac{1}{2}$∠ADC=30°，所以∠ABC=∠DBF+∠FBC=30°+α。因为在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，∠ABC=∠ACB，所以∠BAC=180°-2(30°+α)=120°-2α，∠BAF=∠BAC-∠FAC=(120°-2α)-(90°-α)=30°-α。因为在△ABF中，∠ABF+∠AFB+∠BAF=180°，所以α+∠AFB+30°-α=180°，所以∠AFB=150°。