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22. (10分)已知点P(3m-5,m+1),试分别根据下列条件,求出点P的坐标。
(1)点P的纵坐标比横坐标小2。
(2)点P在坐标轴上。
(3)点P到x轴、y轴的距离相等。
(1)点P的纵坐标比横坐标小2。
(2)点P在坐标轴上。
(3)点P到x轴、y轴的距离相等。
答案：
解:
(1)因为点 P 的纵坐标比横坐标小 2，所以 3m-5=m+1+2，解得 m=4，所以 3m-5=7，m+1=5，所以点 P 的坐标为(7,5)。
(2)因为点 P 在坐标轴上，所以 3m-5=0 或 m+1=0，解得$m=\frac{5}{3}$或 m=-1。当$m=\frac{5}{3}$时，$m+1=\frac{8}{3}$，此时点 P 的坐标为$\left( 0,\frac{8}{3} \right)$；当 m=-1 时，3m-5=-8，此时点 P 的坐标为(-8,0)。故点 P 的坐标为$\left( 0,\frac{8}{3} \right)$或(-8,0)。
(3)因为点 P 到 x 轴的距离与到 y 轴的距离相等，所以|3m-5|=|m+1|，所以 3m-5=m+1 或 3m-5=-m-1，解得 m=3 或 m=1。当 m=3 时，点 P 的坐标为(4,4)；当 m=1 时，点 P 的坐标为(-2,2)。故点 P 的坐标为(4,4)或(-2,2)。
(1)因为点 P 的纵坐标比横坐标小 2，所以 3m-5=m+1+2，解得 m=4，所以 3m-5=7，m+1=5，所以点 P 的坐标为(7,5)。
(2)因为点 P 在坐标轴上，所以 3m-5=0 或 m+1=0，解得$m=\frac{5}{3}$或 m=-1。当$m=\frac{5}{3}$时，$m+1=\frac{8}{3}$，此时点 P 的坐标为$\left( 0,\frac{8}{3} \right)$；当 m=-1 时，3m-5=-8，此时点 P 的坐标为(-8,0)。故点 P 的坐标为$\left( 0,\frac{8}{3} \right)$或(-8,0)。
(3)因为点 P 到 x 轴的距离与到 y 轴的距离相等，所以|3m-5|=|m+1|，所以 3m-5=m+1 或 3m-5=-m-1，解得 m=3 或 m=1。当 m=3 时，点 P 的坐标为(4,4)；当 m=1 时，点 P 的坐标为(-2,2)。故点 P 的坐标为(4,4)或(-2,2)。
23. (10分)【综合与实践】
问题背景：
(1)已知A(1,2),B(3,0),C(1,-1),D(-3,-3)。在平面直角坐标系中描出这几个点,并分别找到线段AB和CD的中点P1,P2,然后写出它们的坐标,则P1______,P2______。
探究发现：
(2)结合上述计算结果,你能发现若线段的两个端点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则线段的中点坐标为______。
拓展应用：
(3)利用上述规律解决下列问题：已知三点E(-1,2),F(3,1),G(1,4),第四个点H(x,y)与点E,点F,点G中的一个点构成的线段的中点与另外两个端点构成的线段的中点重合,求点H的坐标。
问题背景：
(1)已知A(1,2),B(3,0),C(1,-1),D(-3,-3)。在平面直角坐标系中描出这几个点,并分别找到线段AB和CD的中点P1,P2,然后写出它们的坐标,则P1______,P2______。
探究发现：
(2)结合上述计算结果,你能发现若线段的两个端点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则线段的中点坐标为______。
拓展应用：
(3)利用上述规律解决下列问题：已知三点E(-1,2),F(3,1),G(1,4),第四个点H(x,y)与点E,点F,点G中的一个点构成的线段的中点与另外两个端点构成的线段的中点重合,求点H的坐标。
答案：
解:
(1)如图 1 所示，A，B，C，D 为所求，点 P₁的坐标为(2,1)，点 P₂的坐标为(-1,-2)。
故答案为(2,1);(-1,-2)。
(2)由题意得，若线段的两个端点的坐标分别为(x₁,y₁)，(x₂,y₂)，则线段的中点坐标为$\left( \frac{x_{1}+x_{2}}{2},\frac{y_{1}+y_{2}}{2} \right)$。故答案为$\left( \frac{x_{1}+x_{2}}{2},\frac{y_{1}+y_{2}}{2} \right)$。
(3)因为 E(-1,2)，F(3,1)，G(1,4)，所以线段 EF 的中点坐标为$\left( 1,\frac{3}{2} \right)$，线段 EG 的中点坐标为(0,3)，线段 FG 的中点坐标为$\left( 2,\frac{5}{2} \right)$。当线段 HG 的中点与线段 EF 的中点重合时，$\begin{cases} \frac{x+1}{2}=1, \\ \frac{y+4}{2}=\frac{3}{2}, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=1, \\ y=-1, \end{cases}$所以点 H 的坐标为(1,-1)；同理当线段 HF 的中点与线段 EG 的中点重合时，点 H 的坐标为(-3,5)；当线段 HE 的中点与线段 FG 的中点重合时，点 H 的坐标为(5,3)。综上所述，点 H 的坐标为(1,-1)或(-3,5)或(5,3)。
解:
(1)如图 1 所示，A，B，C，D 为所求，点 P₁的坐标为(2,1)，点 P₂的坐标为(-1,-2)。
故答案为(2,1);(-1,-2)。
(2)由题意得，若线段的两个端点的坐标分别为(x₁,y₁)，(x₂,y₂)，则线段的中点坐标为$\left( \frac{x_{1}+x_{2}}{2},\frac{y_{1}+y_{2}}{2} \right)$。故答案为$\left( \frac{x_{1}+x_{2}}{2},\frac{y_{1}+y_{2}}{2} \right)$。
(3)因为 E(-1,2)，F(3,1)，G(1,4)，所以线段 EF 的中点坐标为$\left( 1,\frac{3}{2} \right)$，线段 EG 的中点坐标为(0,3)，线段 FG 的中点坐标为$\left( 2,\frac{5}{2} \right)$。当线段 HG 的中点与线段 EF 的中点重合时，$\begin{cases} \frac{x+1}{2}=1, \\ \frac{y+4}{2}=\frac{3}{2}, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=1, \\ y=-1, \end{cases}$所以点 H 的坐标为(1,-1)；同理当线段 HF 的中点与线段 EG 的中点重合时，点 H 的坐标为(-3,5)；当线段 HE 的中点与线段 FG 的中点重合时，点 H 的坐标为(5,3)。综上所述，点 H 的坐标为(1,-1)或(-3,5)或(5,3)。
24. (12分)已知△ABC的三个顶点分别是A(1,0),B(-3,0),C(x,y)。
(1)若x= -2,y= 3,求△ABC的面积。
(2)如图,若顶点C(x,y)位于第二象限,且CB//y轴,AC与y轴相交于点E(0,1),当△ABC沿x轴正方向平移时,得到△DOF,且△DOF与原△ABC重叠部分为△AOE,求阴影部分的面积S。
(3)若点C到y轴的距离为4,点P(0,5),若S△ABC= 2S△ABP,求点C的坐标。
(1)若x= -2,y= 3,求△ABC的面积。
(2)如图,若顶点C(x,y)位于第二象限,且CB//y轴,AC与y轴相交于点E(0,1),当△ABC沿x轴正方向平移时,得到△DOF,且△DOF与原△ABC重叠部分为△AOE,求阴影部分的面积S。
(3)若点C到y轴的距离为4,点P(0,5),若S△ABC= 2S△ABP,求点C的坐标。
答案：
解:
(1)因为 A(1,0)，B(-3,0)，C(-2,3)，所以△ABC 的面积=$\frac{1}{2}×4×3=6$。
(2)由题意得 E(0,1)，则 OE=OA=1，所以△AOE 是等腰直角三角形。因为 CB//y 轴，所以△ABC 是等腰直角三角形，所以 BC=AB=4，所以 y=4，$S_{阴影}=S_{\triangle DOF}-S_{\triangle AOE}=\frac{1}{2}×4×4-\frac{1}{2}×1×1=2×4-\frac{1}{2}=\frac{15}{2}$(或$S_{阴影}=S_{梯形EOEC}=\frac{1}{2}×3×(4+1)=\frac{15}{2}$)。
(3)由题意得$2S_{\triangle ABP}=2×\frac{1}{2}×4×5=20$。当点 C 在 y 轴的左侧时，设 C(-4,y)，$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}×4×|y|=20$，解得 y=±10，此时，C(-4,10)或 C(-4,-10)；当点 C 在 y 轴的右侧时，设 C(4,y)，$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}×4×|y|=20$，解得 y=±10，此时，C(4,10)或 C(4,-10)。综上所述，点 C 的坐标为(-4,10)或(-4,-10)或(4,10)或(4,-10)。
(1)因为 A(1,0)，B(-3,0)，C(-2,3)，所以△ABC 的面积=$\frac{1}{2}×4×3=6$。
(2)由题意得 E(0,1)，则 OE=OA=1，所以△AOE 是等腰直角三角形。因为 CB//y 轴，所以△ABC 是等腰直角三角形，所以 BC=AB=4，所以 y=4，$S_{阴影}=S_{\triangle DOF}-S_{\triangle AOE}=\frac{1}{2}×4×4-\frac{1}{2}×1×1=2×4-\frac{1}{2}=\frac{15}{2}$(或$S_{阴影}=S_{梯形EOEC}=\frac{1}{2}×3×(4+1)=\frac{15}{2}$)。
(3)由题意得$2S_{\triangle ABP}=2×\frac{1}{2}×4×5=20$。当点 C 在 y 轴的左侧时，设 C(-4,y)，$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}×4×|y|=20$，解得 y=±10，此时，C(-4,10)或 C(-4,-10)；当点 C 在 y 轴的右侧时，设 C(4,y)，$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}×4×|y|=20$，解得 y=±10，此时，C(4,10)或 C(4,-10)。综上所述，点 C 的坐标为(-4,10)或(-4,-10)或(4,10)或(4,-10)。
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