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(1) 一个最简分数的分子和分母的公因数是（
A. 不存在
B. 1
C. 无法判断
B
）。A. 不存在
B. 1
C. 无法判断
答案：
B
(2) 大于$\frac{1}{6}$且小于$\frac{1}{5}$的分数（
A. 有无数个
B. 一个也没有
C. 只有 2 个
A
）。A. 有无数个
B. 一个也没有
C. 只有 2 个
答案：
A
(3) 在下面的分数中，与分数$\frac{1}{3}$相等的分数是（
A. $\frac{1}{3}=\frac{1×5}{3×5}=\frac{5}{15}$
B. $\frac{1}{3}=\frac{1+5}{3+5}=\frac{6}{8}$
C. $\frac{1}{3}=\frac{1+4}{3+15}=\frac{5}{18}$
A
）。A. $\frac{1}{3}=\frac{1×5}{3×5}=\frac{5}{15}$
B. $\frac{1}{3}=\frac{1+5}{3+5}=\frac{6}{8}$
C. $\frac{1}{3}=\frac{1+4}{3+15}=\frac{5}{18}$
答案：
A
(4) 如果$a＞b＞c$，那么$\frac{5}{a}$、$\frac{5}{b}$和$\frac{5}{c}$中最小的是（
A. $\frac{5}{a}$
B. $\frac{5}{b}$
C. $\frac{5}{c}$
A
）。A. $\frac{5}{a}$
B. $\frac{5}{b}$
C. $\frac{5}{c}$
答案：
A
(5) 约分和通分的依据是（
A. 分数的单位
B. 分数与除法的关系
C. 分数的基本性质
C
）。A. 分数的单位
B. 分数与除法的关系
C. 分数的基本性质
答案：
C
4. 计算。
(1) 把下面各数分别化成分母是 12 而大小不变的分数。
$\frac{1}{3}$ $\frac{24}{36}$ $\frac{25}{60}$ 4
(2) 把下面每个分数进行约分。
$\frac{24}{60}$ $\frac{80}{75}$ $\frac{125}{100}$ $\frac{24}{144}$
(3) 求下面每组数的最大公因数和最小公倍数。
8 和 9 15 和 45 24 和 36
(4) 先通分，再比较大小。
$\frac{4}{15}$和$\frac{9}{20}$ $\frac{2}{9}$和$\frac{3}{10}$ $\frac{7}{18}$和$\frac{13}{36}$
(1) 把下面各数分别化成分母是 12 而大小不变的分数。
$\frac{1}{3}$ $\frac{24}{36}$ $\frac{25}{60}$ 4
(2) 把下面每个分数进行约分。
$\frac{24}{60}$ $\frac{80}{75}$ $\frac{125}{100}$ $\frac{24}{144}$
(3) 求下面每组数的最大公因数和最小公倍数。
8 和 9 15 和 45 24 和 36
(4) 先通分，再比较大小。
$\frac{4}{15}$和$\frac{9}{20}$ $\frac{2}{9}$和$\frac{3}{10}$ $\frac{7}{18}$和$\frac{13}{36}$
答案：
【解析】：
### （1）把各数化成分母是 12 而大小不变的分数
根据分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或者除以一个相同的数（0 除外），分数的大小不变。
对于$\frac{1}{3}$，分母由 3 变为 12，$12\div3 = 4$，则分子也要乘 4，$1\times4 = 4$，所以$\frac{1}{3}=\frac{4}{12}$。
对于$\frac{24}{36}$，分母由 36 变为 12，$36\div12 = 3$，则分子也要除以 3，$24\div3 = 8$，所以$\frac{24}{36}=\frac{8}{12}$。
对于$\frac{25}{60}$，分母由 60 变为 12，$60\div12 = 5$，则分子也要除以 5，$25\div5 = 5$，所以$\frac{25}{60}=\frac{5}{12}$。
对于整数 4，可将其写成分数形式$\frac{4}{1}$，分母由 1 变为 12，$12\div1 = 12$，则分子也要乘 12，$4\times12 = 48$，所以$4=\frac{48}{12}$。
### （2）对每个分数进行约分
约分是把一个分数的分子、分母同时除以公因数，分数的值不变，这个过程叫约分，约分的依据是分数的基本性质，通常要将分数约成最简分数（分子和分母只有公因数 1 的分数）。
对于$\frac{24}{60}$，先找出 24 和 60 的最大公因数，24 的因数有 1、2、3、4、6、8、12、24，60 的因数有 1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60，它们的最大公因数是 12，分子分母同时除以 12，$\frac{24\div12}{60\div12}=\frac{2}{5}$。
对于$\frac{80}{75}$，80 的因数有 1、2、4、5、8、10、16、20、40、80，75 的因数有 1、3、5、15、25、75，它们的最大公因数是 5，分子分母同时除以 5，$\frac{80\div5}{75\div5}=\frac{16}{15}$。
对于$\frac{125}{100}$，125 的因数有 1、5、25、125，100 的因数有 1、2、4、5、10、20、25、50、100，它们的最大公因数是 25，分子分母同时除以 25，$\frac{125\div25}{100\div25}=\frac{5}{4}$。
对于$\frac{24}{144}$，24 的因数有 1、2、3、4、6、8、12、24，144 的因数有 1、2、3、4、6、8、9、12、16、18、24、36、48、72、144，它们的最大公因数是 24，分子分母同时除以 24，$\frac{24\div24}{144\div24}=\frac{1}{6}$。
### （3）求每组数的最大公因数和最小公倍数
对于 8 和 9，8 的因数有 1、2、4、8，9 的因数有 1、3、9，它们只有公因数 1，所以 8 和 9 是互质数。互质数的最大公因数是 1，最小公倍数是它们的乘积，$8\times9 = 72$。
对于 15 和 45，因为$45\div15 = 3$，即 45 是 15 的倍数，当两个数为倍数关系时，最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数，所以 15 和 45 的最大公因数是 15，最小公倍数是 45。
对于 24 和 36，可使用分解质因数的方法，$24 = 2\times2\times2\times3$，$36 = 2\times2\times3\times3$，最大公因数是两个数公有的质因数的乘积，即$2\times2\times3 = 12$；最小公倍数是公有的质因数和各自独有的质因数的乘积，即$2\times2\times3\times2\times3 = 72$。
### （4）先通分，再比较大小
通分是把几个异分母分数化成与原来分数相等的同分母分数的过程，先找出两个分数分母的最小公倍数作为通分后的分母，再根据分数的基本性质将分子进行相应变化。
对于$\frac{4}{15}$和$\frac{9}{20}$，15 和 20 的最小公倍数是 60，$\frac{4}{15}=\frac{4\times4}{15\times4}=\frac{16}{60}$，$\frac{9}{20}=\frac{9\times3}{20\times3}=\frac{27}{60}$，因为$\frac{16}{60}＜\frac{27}{60}$，所以$\frac{4}{15}＜\frac{9}{20}$。
对于$\frac{2}{9}$和$\frac{3}{10}$，9 和 10 是互质数，它们的最小公倍数是$9\times10 = 90$，$\frac{2}{9}=\frac{2\times10}{9\times10}=\frac{20}{90}$，$\frac{3}{10}=\frac{3\times9}{10\times9}=\frac{27}{90}$，因为$\frac{20}{90}＜\frac{27}{90}$，所以$\frac{2}{9}＜\frac{3}{10}$。
对于$\frac{7}{18}$和$\frac{13}{36}$，18 和 36 的最小公倍数是 36，$\frac{7}{18}=\frac{7\times2}{18\times2}=\frac{14}{36}$，因为$\frac{14}{36}＞\frac{13}{36}$，所以$\frac{7}{18}＞\frac{13}{36}$。
【答案】：
(1)$\frac{4}{12}$，$\frac{8}{12}$，$\frac{5}{12}$，$\frac{48}{12}$
(2)$\frac{2}{5}$，$\frac{16}{15}$，$\frac{5}{4}$，$\frac{1}{6}$
(3)8 和 9 的最大公因数是 1，最小公倍数是 72；15 和 45 的最大公因数是 15，最小公倍数是 45；24 和 36 的最大公因数是 12，最小公倍数是 72。
(4)$\frac{4}{15}=\frac{16}{60}$，$\frac{9}{20}=\frac{27}{60}$，$\frac{4}{15}＜\frac{9}{20}$；$\frac{2}{9}=\frac{20}{90}$，$\frac{3}{10}=\frac{27}{90}$，$\frac{2}{9}＜\frac{3}{10}$；$\frac{7}{18}=\frac{14}{36}$，$\frac{7}{18}＞\frac{13}{36}$
### （1）把各数化成分母是 12 而大小不变的分数
根据分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或者除以一个相同的数（0 除外），分数的大小不变。
对于$\frac{1}{3}$，分母由 3 变为 12，$12\div3 = 4$，则分子也要乘 4，$1\times4 = 4$，所以$\frac{1}{3}=\frac{4}{12}$。
对于$\frac{24}{36}$，分母由 36 变为 12，$36\div12 = 3$，则分子也要除以 3，$24\div3 = 8$，所以$\frac{24}{36}=\frac{8}{12}$。
对于$\frac{25}{60}$，分母由 60 变为 12，$60\div12 = 5$，则分子也要除以 5，$25\div5 = 5$，所以$\frac{25}{60}=\frac{5}{12}$。
对于整数 4，可将其写成分数形式$\frac{4}{1}$，分母由 1 变为 12，$12\div1 = 12$，则分子也要乘 12，$4\times12 = 48$，所以$4=\frac{48}{12}$。
### （2）对每个分数进行约分
约分是把一个分数的分子、分母同时除以公因数，分数的值不变，这个过程叫约分，约分的依据是分数的基本性质，通常要将分数约成最简分数（分子和分母只有公因数 1 的分数）。
对于$\frac{24}{60}$，先找出 24 和 60 的最大公因数，24 的因数有 1、2、3、4、6、8、12、24，60 的因数有 1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60，它们的最大公因数是 12，分子分母同时除以 12，$\frac{24\div12}{60\div12}=\frac{2}{5}$。
对于$\frac{80}{75}$，80 的因数有 1、2、4、5、8、10、16、20、40、80，75 的因数有 1、3、5、15、25、75，它们的最大公因数是 5，分子分母同时除以 5，$\frac{80\div5}{75\div5}=\frac{16}{15}$。
对于$\frac{125}{100}$，125 的因数有 1、5、25、125，100 的因数有 1、2、4、5、10、20、25、50、100，它们的最大公因数是 25，分子分母同时除以 25，$\frac{125\div25}{100\div25}=\frac{5}{4}$。
对于$\frac{24}{144}$，24 的因数有 1、2、3、4、6、8、12、24，144 的因数有 1、2、3、4、6、8、9、12、16、18、24、36、48、72、144，它们的最大公因数是 24，分子分母同时除以 24，$\frac{24\div24}{144\div24}=\frac{1}{6}$。
### （3）求每组数的最大公因数和最小公倍数
对于 8 和 9，8 的因数有 1、2、4、8，9 的因数有 1、3、9，它们只有公因数 1，所以 8 和 9 是互质数。互质数的最大公因数是 1，最小公倍数是它们的乘积，$8\times9 = 72$。
对于 15 和 45，因为$45\div15 = 3$，即 45 是 15 的倍数，当两个数为倍数关系时，最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数，所以 15 和 45 的最大公因数是 15，最小公倍数是 45。
对于 24 和 36，可使用分解质因数的方法，$24 = 2\times2\times2\times3$，$36 = 2\times2\times3\times3$，最大公因数是两个数公有的质因数的乘积，即$2\times2\times3 = 12$；最小公倍数是公有的质因数和各自独有的质因数的乘积，即$2\times2\times3\times2\times3 = 72$。
### （4）先通分，再比较大小
通分是把几个异分母分数化成与原来分数相等的同分母分数的过程，先找出两个分数分母的最小公倍数作为通分后的分母，再根据分数的基本性质将分子进行相应变化。
对于$\frac{4}{15}$和$\frac{9}{20}$，15 和 20 的最小公倍数是 60，$\frac{4}{15}=\frac{4\times4}{15\times4}=\frac{16}{60}$，$\frac{9}{20}=\frac{9\times3}{20\times3}=\frac{27}{60}$，因为$\frac{16}{60}＜\frac{27}{60}$，所以$\frac{4}{15}＜\frac{9}{20}$。
对于$\frac{2}{9}$和$\frac{3}{10}$，9 和 10 是互质数，它们的最小公倍数是$9\times10 = 90$，$\frac{2}{9}=\frac{2\times10}{9\times10}=\frac{20}{90}$，$\frac{3}{10}=\frac{3\times9}{10\times9}=\frac{27}{90}$，因为$\frac{20}{90}＜\frac{27}{90}$，所以$\frac{2}{9}＜\frac{3}{10}$。
对于$\frac{7}{18}$和$\frac{13}{36}$，18 和 36 的最小公倍数是 36，$\frac{7}{18}=\frac{7\times2}{18\times2}=\frac{14}{36}$，因为$\frac{14}{36}＞\frac{13}{36}$，所以$\frac{7}{18}＞\frac{13}{36}$。
【答案】：
(1)$\frac{4}{12}$，$\frac{8}{12}$，$\frac{5}{12}$，$\frac{48}{12}$
(2)$\frac{2}{5}$，$\frac{16}{15}$，$\frac{5}{4}$，$\frac{1}{6}$
(3)8 和 9 的最大公因数是 1，最小公倍数是 72；15 和 45 的最大公因数是 15，最小公倍数是 45；24 和 36 的最大公因数是 12，最小公倍数是 72。
(4)$\frac{4}{15}=\frac{16}{60}$，$\frac{9}{20}=\frac{27}{60}$，$\frac{4}{15}＜\frac{9}{20}$；$\frac{2}{9}=\frac{20}{90}$，$\frac{3}{10}=\frac{27}{90}$，$\frac{2}{9}＜\frac{3}{10}$；$\frac{7}{18}=\frac{14}{36}$，$\frac{7}{18}＞\frac{13}{36}$
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