《2025年文涛书业假期作业快乐暑假七年级数学北师大版》

9. 若等腰三角形的一边长为 $3\mathrm{cm}$,另一边长为 $4\mathrm{cm}$,则它的周长为10 cm 或 11 cm.

答案： 10 cm 或 11 cm

10. 如图,$CE=CB,CD=CA,∠DCA=∠ECB$,求证:$DE=AB$.
证明：∵ $ \angle DCA = \angle ECB $，∴ $ \angle DCA + \angle ECA = \angle ECB + \angle ECA $，即 $ \angle DCE = \angle ACB $。
在 $ \triangle DCE $ 和 $ \triangle ACB $ 中，$ \begin{cases} CE = CB, \\ \angle DCE = \angle ACB, \\ CD = CA, \end{cases} $
∴ $ \triangle DCE \cong \triangle ACB $SAS，∴ $ DE = AB $。

答案： 证明：
∵ $ \angle DCA = \angle ECB $，
∴ $ \angle DCA + \angle ECA = \angle ECB + \angle ECA $，即 $ \angle DCE = \angle ACB $。
在 $ \triangle DCE $ 和 $ \triangle ACB $ 中，$ \begin{cases} CE = CB, \\ \angle DCE = \angle ACB, \\ CD = CA, \end{cases} $
∴ $ \triangle DCE \cong \triangle ACB (SAS) $，
∴ $ DE = AB $。

11. 将分别标有数字 $1$、$2$、$3$ 的三张卡片洗匀后,背面朝上放在桌面上.
(1) 随机抽取 $1$ 张,求抽到奇数的概率;
(2) 首先随机地抽取 $1$ 张作为十位上的数字,再从剩余两张中抽取 $1$ 张作为个位上的数字,能组成哪些两位数,恰好是“$32$”的概率是多少?

答案： 解：
(1) $ P $ (抽到奇数) $ = \frac{2}{3} $；
(2) 组成的两位数可以是：12，13，23，21，31，32. 恰好是“32”的概率为：$ \frac{1}{6} $。

12. 如图,$△ABC$ 在平面直角坐标系中,点 $A$、$B$、$C$ 的坐标分别为 $A(-2,1)$、$B(-4,5)$、$C(-5,2)$.
(1) 作 $△ABC$ 关于直线 $l:x=-1$ 对称的 $△A_1B_1C_1$;(不要求写作法)
(2) 写出点 $A_1$、$B_1$、$C_1$ 的坐标. $A_1$(0,1)、$B_1$(2,5)、$C_1$(3,2).

答案：
(1) 略。
(2) $ A_1(0,1) $、$ B_1(2,5) $、$ C_1(3,2) $。

13. 如图,$BD$,$CE$ 分别是 $△ABC$ 的边 $AC$ 和 $AB$ 上的高,点 $P$ 在 $BD$ 的延长线上,$BP=AC$,点 $Q$ 在 $CE$ 上,$CQ=AB$. 求证:
(1) $AP=AQ$;
证明：(1) ∵ $ BD $，$ CE $ 分别是 $ \triangle ABC $ 的边 $ AC $，$ AB $ 上的高，
∴ $ \angle ADB = \angle AEC = 90^\circ $。
在 $ Rt\triangle AEC $ 和 $ Rt\triangle ADB $ 中，$ \angle ACE = 90^\circ - \angle DAB $，$ \angle ABP = 90^\circ - \angle BAD $，
∴ $ \angle ABP = \angle ACE $。
在 $ \triangle ABP $ 和 $ \triangle QCA $ 中，$ \begin{cases} BP = AC, \\ \angle ABP = \angle ACE, \\ AB = QC, \end{cases} $
∴ $ \triangle ABP \cong \triangle QCA $ (SAS)。
∴ $ AP = AQ $ (全等三角形的对应边相等)。
(2) $AP⊥AQ$.
证明：(2) 由 (1) 知 $ \triangle ABP \cong \triangle QCA $，
∴ $ \angle P = \angle CAQ $ (全等三角形的对应角相等)。
又 ∵ $ \angle P + \angle PAD = 90^\circ $，
∴ $ \angle CAQ + \angle PAD = 90^\circ $，即 $ \angle QAP = 90^\circ $，
∴ $ AP \perp AQ $。

答案： 证明：
(1)
∵ $ BD $，$ CE $ 分别是 $ \triangle ABC $ 的边 $ AC $，$ AB $ 上的高，
∴ $ \angle ADB = \angle AEC = 90^\circ $。
在 $ Rt\triangle AEC $ 和 $ Rt\triangle ADB $ 中，$ \angle ACE = 90^\circ - \angle DAB $，$ \angle ABP = 90^\circ - \angle BAD $，
∴ $ \angle ABP = \angle ACE $。
在 $ \triangle ABP $ 和 $ \triangle QCA $ 中，$ \begin{cases} BP = AC, \\ \angle ABP = \angle ACE, \\ AB = QC, \end{cases} $
∴ $ \triangle ABP \cong \triangle QCA (SAS) $。
∴ $ AP = AQ $ (全等三角形的对应边相等)。
(2) 由
(1) 知 $ \triangle ABP \cong \triangle QCA $，
∴ $ \angle P = \angle CAQ $ (全等三角形的对应角相等)。
又
∵ $ \angle P + \angle PAD = 90^\circ $，
∴ $ \angle CAQ + \angle PAD = 90^\circ $，即 $ \angle QAP = 90^\circ $，
∴ $ AP \perp AQ $。