《2025年文涛书业假期作业快乐暑假七年级数学北师大版》

10. 如果$4x^{2}+ax + 9$是一个完全平方式,那么a的值为$\pm 12$.

答案： $\pm 12$

11. 某种储蓄的月利率是 0.2%,存入100 元本金后,则本息和 y(元)与所存月数x之间的关系式是$y = 100 + 0.2x$. (不考虑利息税)

答案： $y = 100 + 0.2x$

12. 在$△ABC$中,$AB = 3,BC = 2$,BD 为AC 边上的中线,则 BD 的取值范围是$\frac{1}{2} ＜ BD ＜ \frac{5}{2}$.

答案： $\frac{1}{2} ＜ BD ＜ \frac{5}{2}$

13. 如图,$∠2 = 3∠1$,且$∠1 + ∠3 = 90^{\circ}$,试说明$AB// CD$.
解：$\because ∠2 = 3∠1$，又$∠2 + ∠1 = 180^{\circ}$，
$\therefore ∠1 = $$45^{\circ}$，
$\because ∠1 + ∠3 = 90^{\circ}$，$\therefore ∠3 = $$45^{\circ}$，
$\therefore $$∠1 = ∠3$，$\therefore AB // CD$。

答案： 解：$\because ∠2 = 3∠1$，又$∠2 + ∠1 = 180^{\circ}$，
$\therefore ∠1 = 45^{\circ}$，
$\because ∠1 + ∠3 = 90^{\circ}$，$\therefore ∠3 = 45^{\circ}$，
$\therefore ∠1 = ∠3$，$\therefore AB // CD$。

14. 如图,在$△ABC$中,$∠ABC = 45^{\circ}$,DH 垂直平分 BC 交 AB 于点 D,BE 平分$∠ABC$,且$BE⊥AC$于点 E,与 CD 相交于点 F. 求证:
(1)$BF = AC$;
(2)$CE = \frac{1}{2}BF$.
证明：(1)$\because DH$垂直平分$BC$，且$∠ABC = 45^{\circ}$，$\therefore BD = DC$，且$∠BDC = 90^{\circ}$。
$\because ∠A + ∠ABF = 90^{\circ}$，$∠A + ∠ACD = 90^{\circ}$，
$\therefore ∠ABF = ∠ACD$。
在$\triangle BDF$和$\triangle CDA$中，$\left\{\begin{array}{l} ∠BDF = ∠CDA,\\ DB = DC,\\ ∠DBF = ∠DCA,\end{array}\right.$
$\therefore \triangle BDF \cong \triangle CDA$(ASA)，$\therefore BF = AC$；
(2)由(1)得$BF = AC$。
$\because BE$平分$∠ABC$，且$BE ⊥ AC$，
$\therefore ∠ABE = ∠CBE$，$∠AEB = ∠CEB$。
在$\triangle ABE$和$\triangle CBE$中，$\left\{\begin{array}{l} ∠ABE = ∠CBE,\\ BE = BE,\\ ∠AEB = ∠CEB,\end{array}\right.$
$\therefore \triangle ABE \cong \triangle CBE$(ASA)，
$\therefore CE = AE = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}BF$。

答案： 证明：
(1)$\because DH$垂直平分$BC$，且$∠ABC = 45^{\circ}$，$\therefore BD = DC$，且$∠BDC = 90^{\circ}$。
$\because ∠A + ∠ABF = 90^{\circ}$，$∠A + ∠ACD = 90^{\circ}$，
$\therefore ∠ABF = ∠ACD$。
在$\triangle BDF$和$\triangle CDA$中，$\left\{\begin{array}{l} ∠BDF = ∠CDA,\\ DB = DC,\\ ∠DBF = ∠DCA,\end{array}\right.$
$\therefore \triangle BDF \cong \triangle CDA(ASA)$，$\therefore BF = AC$；
(2)由
(1)得$BF = AC$。
$\because BE$平分$∠ABC$，且$BE ⊥ AC$，
$\therefore ∠ABE = ∠CBE$，$∠AEB = ∠CEB$。
在$\triangle ABE$和$\triangle CBE$中，$\left\{\begin{array}{l} ∠ABE = ∠CBE,\\ BE = BE,\\ ∠AEB = ∠CEB,\end{array}\right.$
$\therefore \triangle ABE \cong \triangle CBE(ASA)$，
$\therefore CE = AE = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}BF$。