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23. (10分)【阅读材料】若关于$x$的一元二次方程$ax^{2} + bx + c = 0$的两根为$x_{1},x_{2}$,则$x_{1} + x_{2} = -\frac{b}{a},x_{1}x_{2} = \frac{c}{a}$.这就是一元二次方程根与系数的关系.
根据上述材料,结合你所学的知识,回答下列问题:
(1)【材料理解】
已知一元二次方程$2x^{2} - 5x - 1 = 0$的两根为$x_{1},x_{2}$,则$x_{1} + x_{2} =$
(2)【类比运用】已知关于$x$的一元二次方程$x^{2} - (2k + 1)x + \frac{1}{2}k^{2} - 2 = 0$.
①求证:无论$k$为何实数,方程总有两个不等的实数根;
②若方程的两个实数根为$x_{1},x_{2}$,且满足$x_{1} + x_{2} = 2x_{1}x_{2} + 5$,求$k$的值.
(3)【思维拓展】已知实数$m,n$满足$3m^{2} + 6m - 5 = 0,3n^{2} + 6n - 5 = 0$,且$m \neq n$,求$\frac{n}{m} + \frac{m}{n}$的值.
根据上述材料,结合你所学的知识,回答下列问题:
(1)【材料理解】
已知一元二次方程$2x^{2} - 5x - 1 = 0$的两根为$x_{1},x_{2}$,则$x_{1} + x_{2} =$
$\frac{5}{2}$
,$x_{1}x_{2} =$$-\frac{1}{2}$
.(2)【类比运用】已知关于$x$的一元二次方程$x^{2} - (2k + 1)x + \frac{1}{2}k^{2} - 2 = 0$.
①求证:无论$k$为何实数,方程总有两个不等的实数根;
②若方程的两个实数根为$x_{1},x_{2}$,且满足$x_{1} + x_{2} = 2x_{1}x_{2} + 5$,求$k$的值.
(3)【思维拓展】已知实数$m,n$满足$3m^{2} + 6m - 5 = 0,3n^{2} + 6n - 5 = 0$,且$m \neq n$,求$\frac{n}{m} + \frac{m}{n}$的值.
(1)$\because 2x^{2}-5x - 1 = 0$，$\therefore a = 2$，$b = - 5$，$c = - 1$，$\therefore x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}=-\frac{-5}{2}=\frac{5}{2}$，$x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}=\frac{-1}{2}=-\frac{1}{2}$。故答案为 $\frac{5}{2}$，$-\frac{1}{2}$。(2)①证明：$\because\Delta = [-(2k + 1)]^{2}-4×1×(\frac{1}{2}k^{2}-2)=4k^{2}+4k + 1 - 2k^{2}+8=2k^{2}+4k + 9=2(k + 1)^{2}+7\gt0$，$\therefore$ 无论 $k$ 为何实数，方程总有两个不等的实数根。②由根与系数的关系，得 $x_{1}+x_{2}=2k + 1$，$x_{1}x_{2}=\frac{1}{2}k^{2}-2$。$\because x_{1}+x_{2}=2x_{1}x_{2}+5$，$\therefore 2k + 1 = 2×(\frac{1}{2}k^{2}-2)+5$，化简，得 $k^{2}-2k = 0$，解得 $k_{1}=0$，$k_{2}=2$。故 $k$ 的值为 $0$ 或 $2$。(3)$\because$ 实数 $m$，$n$ 满足 $3m^{2}+6m - 5 = 0$，$3n^{2}+6n - 5 = 0$，且 $m\neq n$，$\therefore m$，$n$ 是方程 $3x^{2}+6x - 5 = 0$ 的两个不等的实数根，$\therefore m + n = - 2$，$mn = -\frac{5}{3}$，$\therefore\frac{n}{m}+\frac{m}{n}=\frac{n^{2}+m^{2}}{mn}=\frac{(m + n)^{2}-2mn}{mn}=\frac{(-2)^{2}-2×(-\frac{5}{3})}{-\frac{5}{3}}=-\frac{22}{5}$。
答案：
解：
(1)$\because 2x^{2}-5x - 1 = 0$，
$\therefore a = 2$，$b = - 5$，$c = - 1$，
$\therefore x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}=-\frac{-5}{2}=\frac{5}{2}$，$x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}=\frac{-1}{2}=-\frac{1}{2}$。
故答案为 $\frac{5}{2}$，$-\frac{1}{2}$。
(2)①证明：$\because\Delta = [-(2k + 1)]^{2}-4×1×(\frac{1}{2}k^{2}-2)$
$=4k^{2}+4k + 1 - 2k^{2}+8$
$=2k^{2}+4k + 9$
$=2(k + 1)^{2}+7\gt0$，
$\therefore$ 无论 $k$ 为何实数，方程总有两个不等的实数根。
②由根与系数的关系，得 $x_{1}+x_{2}=2k + 1$，$x_{1}x_{2}=\frac{1}{2}k^{2}-2$。
$\because x_{1}+x_{2}=2x_{1}x_{2}+5$，
$\therefore 2k + 1 = 2×(\frac{1}{2}k^{2}-2)+5$，
化简，得 $k^{2}-2k = 0$，
解得 $k_{1}=0$，$k_{2}=2$。
故 $k$ 的值为 $0$ 或 $2$。
(3)$\because$ 实数 $m$，$n$ 满足 $3m^{2}+6m - 5 = 0$，$3n^{2}+6n - 5 = 0$，且 $m\neq n$，
$\therefore m$，$n$ 是方程 $3x^{2}+6x - 5 = 0$ 的两个不等的实数根，
$\therefore m + n = - 2$，$mn = -\frac{5}{3}$，
$\therefore\frac{n}{m}+\frac{m}{n}=\frac{n^{2}+m^{2}}{mn}=\frac{(m + n)^{2}-2mn}{mn}=\frac{(-2)^{2}-2×(-\frac{5}{3})}{-\frac{5}{3}}=-\frac{22}{5}$。
(1)$\because 2x^{2}-5x - 1 = 0$，
$\therefore a = 2$，$b = - 5$，$c = - 1$，
$\therefore x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}=-\frac{-5}{2}=\frac{5}{2}$，$x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}=\frac{-1}{2}=-\frac{1}{2}$。
故答案为 $\frac{5}{2}$，$-\frac{1}{2}$。
(2)①证明：$\because\Delta = [-(2k + 1)]^{2}-4×1×(\frac{1}{2}k^{2}-2)$
$=4k^{2}+4k + 1 - 2k^{2}+8$
$=2k^{2}+4k + 9$
$=2(k + 1)^{2}+7\gt0$，
$\therefore$ 无论 $k$ 为何实数，方程总有两个不等的实数根。
②由根与系数的关系，得 $x_{1}+x_{2}=2k + 1$，$x_{1}x_{2}=\frac{1}{2}k^{2}-2$。
$\because x_{1}+x_{2}=2x_{1}x_{2}+5$，
$\therefore 2k + 1 = 2×(\frac{1}{2}k^{2}-2)+5$，
化简，得 $k^{2}-2k = 0$，
解得 $k_{1}=0$，$k_{2}=2$。
故 $k$ 的值为 $0$ 或 $2$。
(3)$\because$ 实数 $m$，$n$ 满足 $3m^{2}+6m - 5 = 0$，$3n^{2}+6n - 5 = 0$，且 $m\neq n$，
$\therefore m$，$n$ 是方程 $3x^{2}+6x - 5 = 0$ 的两个不等的实数根，
$\therefore m + n = - 2$，$mn = -\frac{5}{3}$，
$\therefore\frac{n}{m}+\frac{m}{n}=\frac{n^{2}+m^{2}}{mn}=\frac{(m + n)^{2}-2mn}{mn}=\frac{(-2)^{2}-2×(-\frac{5}{3})}{-\frac{5}{3}}=-\frac{22}{5}$。
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