《2025年全品学练考九年级数学上册人教版》

19. (6分)已知二次函数$y=x^{2}+bx+c$的图象经过点$(4,3),(3,0)$.
(1)求$b,c$的值;
(2)在所给平面直角坐标系中画出二次函数$y=x^{2}+bx+c$的图象;
(3)如果此抛物线上下平移后过点$(-2,2)$,试确定平移的方向和平移的距离.

答案：
解:
(1) 将 $(4,3)$，$(3,0)$ 代入 $y=x^{2}+b x+c$，
得 $\left\{\begin{array}{l}16+4 b+c=3, \\ 9+3 b+c=0,\end{array}\right.$
解得 $\left\{\begin{array}{l}b=-4, \\ c=3 .\end{array}\right.$
(2) 二次函数 $y=x^{2}-4 x+3$ 的图象如图所示.

(3) 把 $x=-2$ 代入 $y=x^{2}-4 x+3$，得 $y=(-2)^{2}-4 ×(-2)+3=15$.
$\because$ 点 $(-2,15)$ 向下平移 13 个单位长度得到点 $(-2,2)$，
$\therefore$ 需将此抛物线向下平移 13 个单位长度.

20. (8分)如图22-Z-7,抛物线$y=x^{2}+ax$经过点$A(-4,0),B(1,b),P(m,n)$是抛物线上一点.
(1)求$a,b$的值及抛物线的顶点坐标;
(2)若$m＜-5$,则比较$b,n$的大小;
(3)当$m≤x＜m+1$时,二次函数的最小值为-4,直接写出$m$的取值范围.

答案： 解:
(1) $\because$ 抛物线 $y=x^{2}+a x$ 经过点 $A(-4,0)$，$B(1, b)$，
$\therefore\left\{\begin{array}{l}16-4 a=0, \\ 1+a=b,\end{array}\right.$
解得 $\left\{\begin{array}{l}a=4, \\ b=5,\end{array}\right.$
$\therefore y=x^{2}+4 x=(x+2)^{2}-4$，
$\therefore$ 抛物线的顶点坐标为 $(-2,-4)$.
(2) $\because$ 抛物线的开口向上，对称轴为直线 $x=-2$，
$\therefore$ 在直线 $x=-2$ 的左侧，$y$ 随 $x$ 的增大而减小，点 $B(1, b)$ 关于抛物线对称轴的对称点的坐标为 $(-5, b)$.
$\because P(m, n)$ 是抛物线上一点，且 $m＜-5$，
$\therefore n＞b$.
(3) $\because$ 抛物线的开口向上，顶点坐标为 $(-2,-4)$，
$\therefore$ 当 $x=-2$ 时，函数有最小值 $-4$.
$\because$ 当 $m \leqslant x＜m+1$ 时，二次函数的最小值为 $-4$，
$\therefore m \leqslant-2＜m+1$，
解得 $-3＜m \leqslant-2$.