搜索
22. (8分)我国古代数学家赵爽在《勾股圆方图注》中记载了用几何法对一元二次方程进行求解的方法,例如:求方程$x^{2} + 2x = 35$正根的方法:如图21-Z-4,构造出4个长为$x + 2$,宽为$x$的矩形,围成一个边长为$x + 2 + x$的大正方形,所以$S_{1} = S_{2} = S_{3} = S_{4} = x(x + 2),S_{5} = 4$,得到大正方形的面积为$4 × x(x + 2) + 4 = 4 × 35 + 4 = 144$,所以大正方形的边长为12,所以$x = 5$.
(1)请利用上述方法画出图形,求出方程$x^{2} + 4x - 15 = 0$的正根,并写出分析过程;
(2)你能否用几何法求方程$m^{2} - 2m - 5 = 0$的正根? 如果能,请直接画出图形,标注相关信息.
(1)请利用上述方法画出图形,求出方程$x^{2} + 4x - 15 = 0$的正根,并写出分析过程;
(2)你能否用几何法求方程$m^{2} - 2m - 5 = 0$的正根? 如果能,请直接画出图形,标注相关信息.
答案：
解：
(1)$\because x^{2}+4x - 15 = 0$，
$\therefore x^{2}+4x = 15$。
如图①，构造出 $4$ 个长为 $x + 4$，宽为 $x$ 的矩形，围成一个边长为 $x + x + 4$ 的大正方形，则大正方形的面积等于四个小矩形的面积加上中间小正方形的面积，即 $4× x(x + 4)+4^{2}=4×15 + 4^{2}=76$，$\therefore$ 大正方形的边长为 $\sqrt{76}=2\sqrt{19}$，
即 $x + x + 4 = 2\sqrt{19}$，$\therefore x=\sqrt{19}-2$。
(2)能，画出图形如图②。
解：
(1)$\because x^{2}+4x - 15 = 0$，
$\therefore x^{2}+4x = 15$。
如图①，构造出 $4$ 个长为 $x + 4$，宽为 $x$ 的矩形，围成一个边长为 $x + x + 4$ 的大正方形，则大正方形的面积等于四个小矩形的面积加上中间小正方形的面积，即 $4× x(x + 4)+4^{2}=4×15 + 4^{2}=76$，$\therefore$ 大正方形的边长为 $\sqrt{76}=2\sqrt{19}$，
即 $x + x + 4 = 2\sqrt{19}$，$\therefore x=\sqrt{19}-2$。
(2)能，画出图形如图②。
查看更多完整答案，请扫码查看
