《2025年全品学练考九年级数学上册人教版》

20. (6分)某校为增强学生们的实践能力,新颖社团对学生的学习效率与学习时间的关系进行了调查和研究,研究发现学习行为开始后学习效率逐渐升高,但长时间学习容易造成疲劳使得学习效率达到高峰后逐渐下降,下表是社团研究团队记录的研究数据.(备注:学习效率用0至1的数字表示)
|学习时间(分)|…|40|50|60|…|
|----|----|----|----|----|----|
|学习效率|…|0.64|$m$|1|…|
记录学习效率时,每10分钟为一个记录单元.
(1)若学习时间在40~60分钟时,学习效率的增长率相同,求$m$的值;
(2)研究发现,当学习时间为1小时时,学习效率达到顶峰,1小时后学习效率逐渐下降,而且学习时间每增加10分钟,学习效率下降0.2.若将学习时间(分)与学习效率的乘积叫做学习效能,当学习效能低于20时为无效学习,此时必须停止学习.恰逢该校调整每晚作业时间,规定作业时间不少于1小时,根据以上研究成果计算每晚作业时间的合理范围.

答案： 解：
(1)设学习时间在 $40\sim60$ 分钟时，学习效率的增长率为 $x$。
根据题意，得 $0.64(1 + x)^{2}=1$，
解得 $x_{1}=0.25 = 25\%$，$x_{2}=-2.25$（不符合题意，舍去），
$\therefore$ 学习时间在 $40\sim60$ 分钟时，学习效率的增长率为 $25\%$，
$\therefore m = 0.64×(1 + 25\%)=0.8$。
故 $m$ 的值为 $0.8$。
(2)设每晚作业时间为 $(60 + 10y)$ 分钟。
根据题意，得 $(60 + 10y)(1 - 0.2y)=20$，
解得 $y_{1}=-5$（不符合题意，舍去），$y_{2}=4$，
$\therefore 60 + 10y = 60 + 10×4 = 100$，
$\therefore$ 超过 $100$ 分钟为无效学习，
$\therefore$ 每晚作业时间的合理范围是 $60\sim100$ 分钟（含 $60$ 分钟和 $100$ 分钟）。

21. (8分)如果关于$x$的一元二次方程$ax^{2} + bx + c = 0$有两个实数根,且其中一个根为另一个根的2倍,那么称这样的方程为“倍根方程”.例如,一元二次方程$x^{2} - 6x + 8 = 0$的两个根分别是2和4,则方程$x^{2} - 6x + 8 = 0$就是“倍根方程”.
(1)判断一元二次方程$x^{2} - 3x + 2 = 0$是不是“倍根方程”,并说明理由;
(2)若$(x - 2)(mx - n) = 0(m \neq 0)$是“倍根方程”,求代数式$4m^{2} - 5mn + n^{2}$的值.

答案： 解：
(1)是“倍根方程”。
理由如下：解方程 $x^{2}-3x + 2 = 0$，得 $x_{1}=1$，$x_{2}=2$，
因此方程 $x^{2}-3x + 2 = 0$ 是“倍根方程”。
(2)解方程 $(x - 2)(mx - n)=0(m\neq0)$，得
$x_{1}=2$，$x_{2}=\frac{n}{m}$。
$\because (x - 2)(mx - n)=0$ 是“倍根方程”，
$\therefore x_{2}$ 的值为 $1$ 或 $4$。
当 $x_{2}=1$ 时，$\frac{n}{m}=1$，即 $m = n$，
此时 $4m^{2}-5mn + n^{2}=4m^{2}-5m^{2}+m^{2}=0$；
当 $x_{2}=4$ 时，$\frac{n}{m}=4$，
即 $n = 4m$，
此时 $4m^{2}-5mn + n^{2}=4m^{2}-20m^{2}+16m^{2}=0$。
综上所述，$4m^{2}-5mn + n^{2}=0$。