《2025年暑假作业知识出版社八年级理科》

18. 如图,$\angle ABD= \angle C= 90^{\circ}$,$AD= 12$,$AC= BC$,$\angle DAB= 30^{\circ}$,求$BC$的长。

$BC$的长为$3\sqrt{6}$

答案： $\because\angle ABD = 90^{\circ},\angle DAB = 30^{\circ}$，
　$AD = 12$，
　$\therefore BD = 6$。
　$\therefore AB=\sqrt{AD^{2}-BD^{2}}=\sqrt{12^{2}-6^{2}}=6\sqrt{3}$；又 $\because\angle C = 90^{\circ},AC = BC$，
　$\therefore AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}=108$，
　$BC^{2}=\frac{1}{2}AB^{2}=54,BC = 3\sqrt{6}$

19. 给出一组式子：$3^{2}+4^{2}= 5^{2}$,$5^{2}+12^{2}= 13^{2}$,$7^{2}+24^{2}= 25^{2}$,$9^{2}+40^{2}= 41^{2}$,…$$。
(1)你能发现关于上述式子的一些规律吗？
①每个等式中的三个底数都正好组成一组勾股数；②每个等式中的最小的底数恰好是连续的奇数；③最大的底数比第二大的底数大1；④第二大的底数是偶数，最大的底数是奇数；⑤这些等式中的底数都是代数式 $m^{2}-n^{2},2mn,m^{2}+n^{2}$，当 $m$ 和 $n$ 取不同正整数时得到的数。
(2)请你运用规律,或者通过试验的方法(利用计算器),给出第五个式子。
$11^{2}+60^{2}=61^{2}$

答案：
(1)①每个等式中的三个底数都正好组成一组勾股数；
　②每个等式中的最小的底数恰好是连续的奇数；
　③最大的底数比第二大的底数大1；
　④第二大的底数是偶数，最大的底数是奇数；
　⑤这些等式中的底数都是代数式 $m^{2}-n^{2},2mn,m^{2}+n^{2}$，当 $m$ 和 $n$ 取不同正整数时得到的数。
(2)第五个式子应当是 $m = 6,n = 5$ 时，所得的三个底数的平方和，即 $11^{2}+60^{2}=61^{2}$。