《2025年暑假作业知识出版社八年级理科》

6. 一个三角形三条边的长分别为 $15 \mathrm{cm}$,$20 \mathrm{cm}$,$25 \mathrm{cm}$,这个三角形最长边上的高是多少？

答案： 因为 $ 15 ^ { 2 } + 20 ^ { 2 } = 25 ^ { 2 } $，所以这个三角形是直角三角形. 设最长边(斜边)上的高为 $ x $ cm. 由直角三角形的面积关系，可得 $ \frac { 1 } { 2 } \times 15 \times 20 = \frac { 1 } { 2 } \times 25 \cdot x $，解得 $ x = 12 $.

7. 已知 $\triangle ABC$ 中,$AB = 17 \mathrm{cm}$,$BC = 30 \mathrm{cm}$,$BC$ 上的中线 $AD = 8 \mathrm{cm}$,请你判断 $\triangle ABC$ 的形状,并说明理由.
$\triangle ABC$ 为等腰三角形.
理由: 如图，在 $\triangle ABD$ 中，$AB = 17$ cm，$AD = 8$ cm，$BD = 15$ cm，
$\therefore AB^{2} = AD^{2} + BD^{2}$.
$\therefore \triangle ABD$ 为直角三角形.
在 $\mathrm{Rt}\triangle ACD$ 中，$AC^{2} = AD^{2} + CD^{2} = 8^{2} + 15^{2} = 17^{2}$，
$AC = 17$ cm. $\therefore AB = AC$.
$\therefore \triangle ABC$ 为等腰三角形.

答案：
$ \triangle A B C $ 为等腰三角形.
理由: 如图，在 $ \triangle A B D $ 中，$ A B = 17 $ cm，$ A D = 8 $ cm，$ B D = 15 $ cm，
$ \therefore A B ^ { 2 } = A D ^ { 2 } + B D ^ { 2 } $.
$ \therefore \triangle A B D $ 为直角三角形.
在 $ \mathrm { Rt } \triangle A C D $ 中，$ A C ^ { 2 } = A D ^ { 2 } + C D ^ { 2 } = 8 ^ { 2 } + 15 ^ { 2 } = 17 ^ { 2 } $，
$ A C = 17 $ cm. $ \therefore A B = A C $.
$ \therefore \triangle A B C $ 为等腰三角形.

8. 如图,在平行四边形 $ABCD$ 中,$AE \perp BD$,$CF \perp BD$,垂足分别为 $E$,$F$,求证：$\angle BAE = \angle DCF$.
证明：$ \because $ 四边形 $ A B C D $ 是平行四边形，$ \therefore A B // C D $，$ A B = C D $.$ \therefore \angle A B E = \angle C D F $.$ \because A E \perp B D $，$ C F \perp B D $，$ \therefore \angle A E B = \angle C F D = 90 ^ { \circ } $.$ \therefore \triangle A B E \cong \triangle C D F $.$ \therefore \angle B A E = \angle D C F $.

答案： $ \because $ 四边形 $ A B C D $ 是平行四边形，
$ \therefore A B // C D $，$ A B = C D $.
$ \therefore \angle A B E = \angle C D F $.
$ \because A E \perp B D $，$ C F \perp B D $，
$ \therefore \angle A E B = \angle C F D = 90 ^ { \circ } $.
$ \therefore \triangle A B E \cong \triangle C D F $.
$ \therefore \angle B A E = \angle D C F $.