《2025年暑假作业知识出版社八年级理科》

10. 宏志中学有两个课外小组的学生到校外去采集植物标本,第一小组的速度是 30 米/分,第二小组的速度是 40 米/分,半小时后两组相距 1500 米.
(1)试判断一下两组同学行走的方向是否成一直角;
(2)如果接下来两组同学相向而行,多长时间后相遇?

答案：
(1) 半小时后，第一小组行走的路程为 $s_1 = 30 \times 30 = 900$ (米)，
第二小组行走的路程为 $s_2 = 40 \times 30 = 1200$ (米).
∵ $900^2 + 1200^2 = 1500^2$，
∴ 两组同学行走的方向成一直角.
(2) $1500 \div (30 + 40) \approx 21.4$ (分).
约经过 21.4 分钟后两小组同学相遇.

11. 已知一组数据$x_{1},x_{2},...,x_{6}$的平均数为 1,方差为$\frac {5}{3}$.
(1)求$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+... +x_{6}^{2};$
(2)若在这组数据中加入另一个数据$x_{7}$,重新计算,平均数无变化,求这个数据的方差. (结果用分数表示)

答案：
(1)
∵ 数据 $x_1, x_2, \cdots, x_6$ 的平均数为 1，
∴ $x_1 + x_2 + \cdots + x_6 = 1 \times 6 = 6$.
又
∵ 方差为 $\frac{5}{3}$.
∴ $s^2 = \frac{1}{6}[(x_1 - 1)^2 + (x_2 - 1)^2 + \cdots + (x_6 - 1)^2]$
$= \frac{1}{6}[x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_6^2 - 2(x_1 + x_2 + \cdots + x_6) + 6]$
$= \frac{1}{6}(x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_6^2 - 2 \times 6 + 6)$
$= \frac{1}{6}(x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_6^2) - 1$
$= \frac{5}{3}$，
∴ $x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_6^2 = 16$.
(2)
∵ 数据 $x_1, x_2, \cdots, x_7$ 的平均数为 1，
∴ $x_1 + x_2 + \cdots + x_7 = 1 \times 7 = 7$，
又
∵ $x_1 + x_2 + \cdots + x_6 = 1 \times 6 = 6$，
∴ $x_7 = 1$.
∵ $\frac{1}{6}[(x_1 - 1)^2 + (x_2 - 1)^2 + \cdots + (x_6 - 1)^2] = \frac{5}{3}$，
∴ $(x_1 - 1)^2 + (x_2 - 1)^2 + \cdots + (x_6 - 1)^2 = 10$.
∴ $s^2 = \frac{1}{7}[(x_1 - 1)^2 + (x_2 - 1)^2 + \cdots + (x_7 - 1)^2] = \frac{1}{7}[10 + (1 - 1)^2] = \frac{10}{7}$.

12. 如图,四边形 ABCD 是正方形,点 G 是 BC 上的任意一点,$DE⊥AG$于点 E,$BF// DE$,且交 AG 于点 F. 求证:$AF= BF+EF.$
**证明：** 证明 △ABF ≌ △DAE。
∵ 四边形 ABCD 是正方形，∴ AB=AD，∠BAD=90°。
∵ DE⊥AG，BF//DE，∴ ∠AED=∠AFB=90°。
∵ ∠BAF+∠DAE=90°，∠ADE+∠DAE=90°，∴ ∠BAF=∠ADE。
在△ABF 和△DAE 中，$\left\{\begin{array}{l} ∠AFB=∠DEA \\ ∠BAF=∠ADE \\ AB=DA\end{array}\right.$，∴ △ABF≌△DAE(AAS)。
∴ BF=AE。∵ AF=AE+EF，∴ AF=BF+EF。

答案： 提示：证明 △ABF ≌ △DAE.